< Previous153MatematikaAlternatif PenyelesaianCoba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan deskripsi permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar berikut. Gambar 11.2 Garis sekan, garis singgung, dan garis normalPosisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Tujuan kita adalah mendapatkan persamaan garis singgung (PGS).Misalkan pemain ski mulai bergerak dari titik Q(x2, y2) dan melayang ke udara pada saat titik P(x1, y1) sehingga ia akan bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan kedua titik disebut garis tali busur atau garis sekan. Sepanjang pergerakan tersebut, terdapat banyak garis sekan yang dapat dibentuk dari titik Q menuju titik P dengan gradien awal myyxxsec=−−2121. Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x2 = x1 + ∆x dan y2 = y1 + ∆y sehingga: jika ∆x makin kecil maka Q akan bergerak mendekati P atau jika ∆x → 0 maka Q → P. 154Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan gambar!Gambar 11.3 Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgungKarena y = f (x) maka gradien garis sekan PQ adalah mmyxfxfxxxPQ===−−sec()()∆∆2121.mfxxfxxxxmfxxfxxPQPQ=+−+−⇔=+−()()()()()111111∆∆∆∆Definisi 11.1Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + ∆y) pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien mfxxfxxsec()()=+−11∆∆Amati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka ∆x → 0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P dengan gradien: mfxxfxxPGSx=+−()→lim()().∆∆∆011jika limitnya ada155Matematika Definisi 11.2Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis:mmfxxfxxPGSxx==+−(→→limlim()()sec∆∆∆∆0011Jika limitnya ada))Contoh 11.1Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada kurva f(x) = x4.Alternatif Penyelesaian.Misalkan x1 = –1 dan y1 = (–1)4 = 1 sehingga titik singgung P(-1,1). Jadi, gradien garis singgung adalah: mfxxfxxPGSx=+−→lim()()∆∆∆011 mfxfxmxxPGSxPGSx=−+−−⇔=−+−−⇔→→lim()()lim()()∆∆∆∆∆∆00441111mmxxxPGSx=−++−−+−−→lim[()()][()()]∆∆∆∆022221111⇔=−++−−++−−+−−→mxxxPGSxlim[()()][()()][()()]∆∆∆∆∆022111111xxmxxxxmxPGSxPGSx⇔=−++−+⇔=−+→→lim[()][]lim[(∆∆∆∆∆∆∆0201121))][]2124+−+=−∆x Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 1 = –4(x – (–1)) atau y + 4x + 3 = 0. Perhatikan gambar berikut.156Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.4 Garis singgung dan garis normal kurva f(x) = x4 di titik P(-1,1)1.2 Turunan sebagai Limit FungsiKita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep turunan. Coba kamu perhatikan dan amati kembali sketsa kurva pada Gambar 11.3. Dengan memisalkan x2 = x1 + ∆x dan y2 = y1 + ∆y maka titik Q akan bergerak mendekati P untuk ∆x makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada titik P yang disimbolkan dengan: mfxfxxfxxxtan'()lim()().==+−()→1011∆∆∆ jika limitnya adaJika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah: fxfxxfxxx'()lim()().=+−()→∆∆∆0 jika limitnya adaPerlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat berbeda-beda. Beberapa simbol turunan yang sering dituliskan adalah:Notasi Newton • f ’(x) atau y’ turunan pertama fungsi157MatematikaNotasi Leibniz • dfxdx()atau dydxturunan pertama fungsiDefinisi 11.3Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika lim()()∆∆∆xfcxfcx→+−0ada.Definisi 11.4Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.Masalah-11.2Seekor burung camar terbang melayang di udara dan melihat seekor ikan di permukaan laut. Burung tersebut terbang menukik dan menyambar ikan kemudian langsung terbang ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi f(x) = |x|. Dapatkah kamu sketsa grafik tersebut. Coba amati dan teliti dengan cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0).Alternatif Penyelesaian Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas XMisalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O(0,0) sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut (ingat cara meng-gambar kurva f(x) = |x| di kelas X):158Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.5 Kurva fungsi f(x) = |x| Berdasarkan konsep turunan di atas maka fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆∆∆0bila limitnya ada.i. Jika x ≥ 0 maka f(x) = x sehingga: fxfxxfxxxxxxxx'()lim()()lim()=+−=+−=→→∆∆∆∆∆∆001(limit kanan ada).ii. Jika x < 0 maka f(x) = –x sehingga: fxfxxfxxxxxxxx'()lim()()lim()()=+−=−+−−=−→→∆∆∆∆∆∆001 (limit kiri ada).Coba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju 0 didekati dari kiri, makafxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆∆∆0tidak sama, bukan? Hal ini mengakibatkan turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0.159MatematikaDefinisi 11.5Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x) ⊆ S• Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika lim()()∆∆∆xfcxfcx→++−0ada.• Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika lim()()∆∆∆xfcxfcx→−+−0ada.Berdasarkan pembahasan Masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut.Sifat 11.1Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan x ⊆ S dan L ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:fxLfxxfxxfxxfxxLxx'()lim()()lim()()=⇔+−=+−=→→+−∆∆∆∆∆∆00Keterangan: 1. lim()()∆∆∆xfxxfxx→++−0adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S.2. lim()()∆∆∆xfxxfxx→−+−0adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri pada domain S.Contoh 11.2Tentukan turunan fungsi yx=2160Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianJikafxx()=2maka fxfxxfxxxxxxxxxx'()lim()()limlim=+−=+−=+→→→∆∆∆∆∆∆∆00022222∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆xxxxxxxxxxxxxxxx−++++=++=→→222222222220.lim()lim002222xxx++∆(ingat perkalian sekawan)1.3 Turunan Fungsi AljabarMari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi berdasarkan limit fungsi yang telah dijelaskan di atas. Coba pelajari permasalahan berikut.Masalah-11.3Pada subbab di atas, telah dijelaskan bahwa turunan merupakan limit suatu fungsi, yaitu: fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆∆∆0. Coba kamu amati dan pelajari beberapa contoh penurunan beberapa fungsi berikut dengan konsep limit fungsi:Contoh 11.3Jika f(x) = x2 maka f '(x) =+−=+−=+=→→→lim()()lim()lim∆∆∆∆∆∆∆∆xxxfxxfxxxxxxxxx0022022 161MatematikaContoh 11.4Jika f(x) = x4 maka f '(x) =+−=+−=+→→→lim()()lim()lim∆∆∆∆∆∆∆∆xxxfxxfxxxxxxxxx00440434++()+()+()−=++()+(→64464223440322xxxxxxxxxxxxxx∆∆∆∆∆∆∆∆lim))()=334∆∆xxx Contoh 11.5Jika f(x) = x100 maka f '(x) =+−=+−==→→→lim()()lim()lim?∆∆∆∆∆∆∆∆xxxfxxfxxxxxxx001001000....?(dengan menjabarkan; proses semakin sulit, bukan?)162Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 11.6 Jika f(x) = x35maka f '(x) =+−=+−==→→→lim()()lim()lim?..∆∆∆∆∆∆∆∆xxxfxxfxxxxxxx0035350..?(dengan menjabarkan; proses juga semakin sulit, bukan?)Dari keempat contoh di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Jelas, kita kesulitan dan harus mempunyai banyak strategi aljabar untuk melanjutkan proses pada Contoh 11.5 dan 11.6. Bentuk suatu fungsi beragam sehingga penurunannya dengan menggunakan limit fungsi akan ada yang sederhana diturunkan dan ada yang sangat sulit diturunkan. Kita harus mempermudah proses penurunan suatu fungsi dengan menemukan aturan-aturan penurunan.1.3.1 Menemukan turunan fungsi f(x) = axn,untuk n bilangan asli. fxfxxfxxaxxaxxxxnn'()lim()()lim()=+−=+−→→∆∆∆∆∆∆00Gunakan Biinomial Newton()=++++→−− lim...∆∆∆∆xnnnnaxanxxaCxxax01222nnxnnnnnaxxxanxaCxxaxxanx−=+++=→−−−−∆∆∆∆∆∆lim(...)012211• Coba kamu buktikan sendiri jika f (x) = au(x) dan u'(x) ada, maka f '(x) = au'(x)Next >