< Previous163Matematika1.3.2 Menemukan turunan jumlah fungsi f(x) = u(x) + v(x) dengan u'(x) dan v'(x) ada. fxuxxvxxuxvxxuxxx'()lim[()()][()()]lim[(=+++−+=+→→∆∆∆∆∆∆00xuxvxxvxxuxxuxxvxxvx)()][()()]lim()()()−−+−=+−++−→∆∆∆∆∆∆0()lim()()()()'()'()xxuxxuxxvxxvxxuxvxx∆∆∆∆∆∆=+−+=+−=+→0Dengan cara yang sama, buktikan sendiri bahwa turunan fungsi f(x) = u(x) – v(x) adalah f '(x) = u'(x) – v'(x)Contoh 11.7Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut!a. f(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1Alternatif Penyelesaianf '(x) = 5.4x4–1 – 4.3x3–1 + 3.2x2–1 – 2.1x1–1 + 1.0x0–1f '(x) = 20x3 – 12x2 + 6x – 2b. fxxx()=−13251413Alternatif Penyelesaianfxxxfxxx'()..'()=−=−−−−−131425131122151411313423(Ingat Sifat 10.6 pada Bab 10 di kelas X)164Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1.3.3 Menemukan turunan fungsi f(x) = [u(x)]n dengan u'(x) ada, n bilangan asli.Dengan konsep limit fungsi.fxfxxfxxuxxuxxxxnn'()lim()()lim[()][()]li=+−=+−=→→∆∆∆∆∆∆00mm[()()()][()][()()]∆∆∆∆xnnuxxuxuxuxxPuxxux→+−+−=+−=0Misallim[()][()]lim∆∆∆xnnxPuxuxx→+−()=0Gunakan Binomial Newton→→−−−−+++++01122211PCPuxCPuxCPuxunnnnnnnn[()][()]...[()][(xuxxPnPuxCPuxCnnxnnnn)][()]lim[()][()]...−=++++→−−∆∆01222nnnnnnnxnnPuxCPuxxPPnPux−−−−→−−+=+22211012[()][()]lim([(∆∆)]...[()][()])limlim222110+++=−−−−→CPuxCuxxPxnnnnnnxx∆∆∆∆→→−−−−−−++++01222211([()]...[()][()])PnPuxCPuxCuxnnnnnnnn(Ingat Sifat 10.5 pada Bab X di kelas X)Karenalimlim()()'()limlim∆∆∆∆∆∆∆xxxxPxuxxuxxuxP→→→=+−==000→→+−=00uxxux()()∆ (lihat Definisi 11.3)=+=−−uxnuxnuxuxnn'()[[()]'()[()]011165MatematikaAturan Turunan: Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:f(x) = a → f '(x) = 0f(x) = ax → f '(x) = af(x) = axn → f '(x) = naxn–1f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x)f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v(x)f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)fxuxvxfxuxvxuxvxvx()()()'()'()()()'()[()]=→=−2Dengan menggunakan aturan turunan tersebut, gradien garis singgung suatu kurva akan lebih mudah ditentukan, bukan? Perhatikan contoh berikut!Contoh 11.11Tentukan persamaan garis singgung kurva fxxx()=−21 di titik P(2, 4).Alternatif Penyelesaian.Titik P(2, 4) berada pada kurva fxxx()=−21 sebab jika kita subtitusikan nilai x = 2 maka f()222142=−=.Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi fxxx()=−21 dengan memisalkan u(x) = x2 sehingga u'(x) = 2x dan vxxx()()=−=−1112sehingga vxx'()()=−−12112. Dengan demikian, turunan pertama fungsi adalahfxuxvxuxvxvx'()'()()()'()(())=−2ataufxxxxxx'()()=−−−−−21211212. Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalah f'()24212=−= sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah y – 4 = 2(x – 2) atau y – 2x = 0.166Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.5 Garis singgung kurva fxxx()=−21di titik P(2, 4).Uji Kompetensi 11.11. Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 1 pada tiap-tiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan limit fungsi. a. f(x) = 2x b. f(x) = 2x2 c. f(x) = 2x3 – 1 d. f(x) = 21x+ e. f(x) = 22x2. Misalkan u(x), v(x), w(x), h(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan. Dengan menggunakan konsep turunan sebagai limit fungsi, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = (2x + 1)2 b. f(x) = (x2 – x + 1)2 c. f(x) = 2134xx++167Matematika d. f(x) = u(x)v(x)w(x) e. f(x) = (h ° g)(x)3. Dengan menggunakan konsep turunan, tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = x3(2x + 1)5 b. f(x) = 12232334xx− c. f(x) = xx()=−1213214 d. f(x) = xx++1 e. f(x) = 1012323!!!!...!...++++++xxxxnn5. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(–1,1) pada masing-masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan. a. f(x) = (x + 2)–9 b. f(x) = 2123x− c. f(x) = –x3(x + 2)–2 d. f(x) =−−+xx22 e. f(x) = xx+−22122. Aplikasi TurunanKonsep turunan adalah subjek yang banyak berperan dalam aplikasi matematika di kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi dan titik belok suatu kurva. 2.1 Fungsi Naik dan TurunCoba bayangkan ketika kamu pergi ke plaza atau mall, di sana kita temukan ekskalator atau lift. Gerakan lift dan ekskalator saat naik dapat diilustrasikan sebagai fungsi naik. Demikian juga gerakan lift dan ekskalator saat turun dapat diilustrasikan 168Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKsebagai fungsi turun. Amatilah beberapa grafik fungsi naik dan turun di bawah ini dan coba tuliskan ciri-ciri fungsi naik dan fungsi turun sebagai ide untuk mendefinisikan fungsi naik dan turun. xyy = f(x) xy = f(x) yxyy = f(x) xy y = f(x) xy y = f(x) y y = f(x) x Beberapa grafik fungsi turun dari kiri ke kananBeberapa grafik fungsi naik dari kiri ke kananDari beberapa contoh grafik fungsi naik dan turun di atas, mari kita definisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut.Definisi 11.5Misalkan fungsi, • Fungsi f dikatakan naik jika∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)• Fungsi f dikatakan turun jika∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Contoh 11.12Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x3, x ∈ R dan x > 0 adalah fungsi naik.169MatematikaAlternatif Penyelesaianf(x) = x3, x ∈ R dan x > 0 Ambil sebarang x1, x2∈ R dengan 0 < x1 < x2 x = x1 ⇒ f(x1) = x13x = x1 ⇒ f(x2) = x23Karena 0 < x1 < x2 maka x13 < x23Karena x13 < x23 maka f(x1) < f(x2)Dengan demikian ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik. Bagaimana jika f(x) = x3, x ∈ R dan x < 0, apakah grafik fungsi f adalah fungsi naik? Selidiki!2.2 Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi TurunMari kita bahas aplikasi turunan dalam permasalahan fungsi naik dan fungsi turun dengan memperhatikan dan mengamati permasalahan berikut.Masalah-11.4Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan. PermasalahanDari ilustrasi ini, dapatkah kamu sketsa pergerakan lumba-lumba tersebut dalam 2 periode? Ingat pengertian periode pada pelajaran trigonometri di kelas X. Dapatkah kamu tentukan pada interval waktu berapakah lumba-lumba tersebut bergerak naik atau turun? Dapatkah kamu temukan konsep fungsi naik/turun?170Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianGambar 11.7 Sketsa pergerakan lumba-lumba dalam pengamatan tertentuGambar 11.8 Sketsa pergerakan naik/turun lumba-lumba dalam pengamatan tertentu Secara geometri pada sketsa di atas, lumba-lumba bergerak turun di interval 0 < t < 7,5 atau 16,5 < t < 25,5 atau 34,5 < t < 36 dan disebut bergerak naik di interval 7,5 < t < 16,5 atau 25,5 < t < 34,5.• Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3 menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4 menyinggung kurva pada saat fungsi turun.171MatematikaGambar 11.9 Garis singgung di interval fungsi naik/turunSelanjutnya, mari kita bahas hubungan persamaan garis singgung dengan fungsi naik atau turun. Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu x positif sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik singgungnya. Pada gambar di atas, misalkan besar masing-masing sudut adalah 00 < α1 < 900, 00 < α2 < 900, 00 < α3 < 900, 00 < α4 < 900 sehingga nilai gradien atau tangen sudut setiap garis singgung ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 11.1 Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turunPGSSudut Nilai tangenMenyinggung di PGS 1α1m = tan (α1) = f '(x) > 0Fungsi NaikPGS 23600 - α2m = tan(3600 – α2) = f '(x) < 0Fungsi TurunPGS 3α3m = tan (α3) = f '(x) > 0Fungsi NaikPGS 43600 - α4m = tan(3600 – α4) = f '(x) < 0Fungsi TurunCoba kamu amati Gambar 11.9 dan Tabel 11.1! Apakah kamu melihat konsep fungsi naik/turun. Coba kamu perhatikan kesimpulan berikut:• Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi naik maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0.172Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK• Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi turun maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu x positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa fungsi f(x) yang dapat diturunkan pada interval I, akan mempunyai kondisi sebagai berikut: Tabel 11.2 Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turunNo.Nilai turunan pertamaKeterangan1f ' (x) > 0Fungsi selalu naik2f ' (x) < 0Fungsi selalu turun3f ' (x) ≥ 0Fungsi tidak pernah turun4f ' (x) ≤ 0Fungsi tidak pernah naikSifat 11.2Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈ I maka1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.Konsep di atas dapat digunakan jika kita sudah memiliki fungsi yang akan dianalisis. Tetapi banyak kasus sehari-hari harus dimodelkan terlebih dahulu sebelum dianalisis. Perhatikan kembali permasalahan berikut!Masalah-11.5Tiga orang anak sedang berlomba melempar buah mangga di ketinggian 10 meter. Mereka berbaris menghadap pohon mangga sejauh 5 meter. Anak pertama akan melempar buah mangga tersebut kemudian akan dilanjutkan dengan anak kedua bila tidak mengenai sasaran. Lintasan lemparan setiap anak membentuk kurva parabola. Lemparan anak pertama mencapai ketinggian 9 meter dan batu jatuh 12 meter dari mereka. Lemparan anak kedua melintas di atas sasaran setinggi 5 meter. Anak ketiga berhasil mengenai sasaran. Tentu saja pemenangnya anak ketiga, bukan? Next >