< Previous173MatematikaPermasalahan.Dapatkah kamu mensketsa lintasan lemparan ketiga anak tersebut? Dapatkah kamu membuat model matematika lintasan lemparan? Dapatkah kamu menentukan interval jarak agar masing-masing lemparan naik atau turun berdasarkan konsep turunan? Alternatif Penyelesaiana. Sketsa Lintasan LemparanPermasalahan di atas dapat kita analisis setelah kita modelkan fungsinya. Misalkan posisi awal mereka melempar adalah posisi titik asal O(0,0) pada koordinat kartesius, sehingga sketsa permasalahan di atas adalah sebagai berikut.Gambar 11.11 Sketsa lemparan 1, 2 dan 3b. Model Lintasan LemparanKamu masih ingat konsep fungsi kuadrat, bukan? Ingat kembali konsep fungsi kuadrat di kelas X Fungsi kuadrat yang melalui titik puncak P(xp, yp) dan titik sembarang P(x, y) adalah y – yp = a(x – xp)2 sementara fungsi kuadrat yang melalui akar-akar x1, x2 dan titik sembarang P(x, y) adalah y = a(x – x1)(x – x2), dengan xxxp=+122dan a ≠ 0, a bilangan real. Jadi, model lintasan lemparan setiap anak tersebut adalah:174Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLintasan lemparan anak pertamaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P1(6,9). y = a(x – 0)(x – 12) ó 9 = a(6 – 0)(6 – 12) ó a = –0,25Fungsi lintasan lemparan anak pertama adalah y = –0,25x2 + 3x.Lintasan lemparan anak keduaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P2(5,15). y – 15 = a(x – 5)2 ó 0 – 15 = a(0 – 5)2 ó a = –0,6Fungsi lintasan lemparan anak kedua adalah y = –0,6x2 + 6x.Lintasan lemparan anak ketigaLintasan melalui titik O(0,0) dan puncak P3(5,10). y – 0 = a(x – 5)2 ó 0 – 10 = a(0 – 5)2 ó a = –0,4Fungsi lintasan lemparan anak ketiga adalah y = –0,4x2 + 4x.C. Interval Fungsi Naik/Turun Fungsi LintasanCoba kamu amati kembali Gambar 11.11! Secara geometri, jelas kita lihat interval fungsi naik/turun pada masing-masing lintasan, seperti pada tabel berikut:Tabel 11.3 Fungsi dan interval naik/turun fungsi lemparan anak 1, 2, dan 3 Lintasan keFungsiSecara GeometriInterval NaikInterval Turun1y = –0,25x2 + 3x0 < x < 66 < x < 122y = –0,6x2 + 6x0 < x < 55 < x < 103y = –0,4x2 + 4x0 < x < 55 < x < 10Mari kita tunjukkan kembali interval fungsi naik/turun dengan menggunakan konsep turunan yang telah kita pelajari sebelumnya.Fungsi naik/turun pada lintasan lemparan anak 1Fungsi yang telah diperoleh adalah y = –0,25x2 + 3x sehingga y = –0,5x2 + 3x. Jadi,fungsi akan naik: y = –0,5x2 + 3x ⇔ x < 6 fungsi akan turun: y = –0,5x + 3 < 0 ⇔ x > 6175MatematikaMenurut ilustrasi, batu dilempar dari posisi awal O(0,0) dan jatuh pada posisi akhir Q(12,0) sehingga lintasan lemparan akan naik pada 0 < x < 6 dan turun pada 6 < x < 12.• Bagaimana menunjukkan interval fungsi naik/turun dengan konsep turunan pada fungsi lintasan lemparan anak 2 dan anak 3 diserahkan kepadamu.Contoh 11.13Tentukanlah interval fungsi naik/turun fungsi f(x) = x4 – 2x2Alternatif PenyelesaianBerdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:f '(x) = 4x3 – 4x > 0 ⇔ 4x(x – 1)(x + 1) > 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1Dengan menggunakan interval. - + - + 1 1− 0 Interval Turun Interval Turun Interval Naik Interval Naik Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval 1 –1 < x < 0 atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 – 2x2 tersebut.Gambar 11.12 Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4 – 2x2176Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 11.14Tentukanlah interval fungsi naik fxxx()=−2Alternatif PenyelesaianMasih ingatkah kamu syarat numerusPx()adalah P(x) ≥ 0. Jadi, syarat numerus fxxx()=−2adalah x2 – x ≥ 0. Ingatlah kembali cara-cara menyelesaikan pertidaksamaan.x2 – x ≥ 0 ⇔ x(x – 1) ≥ 0 ⇔ x = 0 atau x = 1Dengan menggunakan interval. + - + 1 0 Jadi, syarat numerus bentuk akar di atas adalah x ≤ 0 atau x ≥ 1 Berdasarkan konsep, sebuah fungsi akan naik jika f '(x) > 0 sehingga:fxxxx'()=−−>21202 ⇔ 2x – 1 > 0 karena xx20−>dan x ≠ 0, x ≠ 1 ⇔ x>12Dengan menggunakan interval. 1 0 21 naik Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval x > 1. 177MatematikaPerhatikanlah grafik fungsi fxxx()=−2berikut! Gambar 11.13 Fungsi naik/turun fxxx()=−2• Coba kamu lakukan dengan cara yang sama untuk mencari interval fungsi turun! Jika kamu benar mengerjakannya maka fungsi turun pada interval x < 0.2.3 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Maksimum dan MinimumSetelah menemukan konsep fungsi naik dan turun, kita akan melanjutkan pembelajaran ke permasalahan maksimum dan minimum serta titik belok suatu fungsi. Tentu saja, kita masih melakukan pengamatan terhadap garis singgung kurva. Aplikasi yang akan dibahas adalah permasalahan titik optimal fungsi dalam interval terbuka dan tertutup, titik belok, dan permasalahan kecepatan maupun percepatan.2.2.1 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbuka178Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-11.6Seorang anak menarik sebuah tali yang cukup panjang. Kemudian dia membuat gelombang dari tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah sehingga terbentuk sebuah gelombang berjalan. Dia terus mengamati gelombang tali yang dia buat. Dia melihat bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum. Dapatkah kamu menemukan konsep nilai maksimum ataupun minimum dari sebuah fungsi?Alternatif PenyelesaianGradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya.Gambar 11.15 Sketsa gelombang taliCoba kamu amati gambar di atas. Garis singgung (PGS 1, PGS 2, PGS 3 dan PGS 4) adalah garis horizontal atau y = c, c konstan, sehingga gradiennya adalah m = 0. Keempat garis singgung tersebut menyinggung kurva di titik puncak/optimal, di absis x = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4. Dari pengamatan, dapat disimpulkan bahwa sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu daerah jika m = f '(x) = 0. Titik yang memenuhi f '(x) = 0 disebut titik stasioner. Berikutnya, kita akan mencoba menemukan hubungan antara titik stasioner dengan turunan kedua fungsi. Pada Gambar 11.15, f '(x1) = 0, f '(x2) = 0, f '(x3) = 0 dan f '(x4) = 0. Artinya kurva turunan pertama fungsi melalui sumbu x di titik A(x1, 0), B(x2, 0), C(x3, 0) dan D(x4, 0). • Coba kamu amati kurva turunan pertama fungsi dan garis singgungnya sebagai berikut. Kesimpulan apa yang kamu dapat berikan?179MatematikaGambar 11.16 Hubungan garis singgung kurva m = f '(x) dengan titik stasionerTitik A(x1, y1) adalah titik maksimum pada Gambar 11.15 sehingga titik dengan absis x = x1 adalah titik stasioner karena f '(x1) = 0. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien M pada fungsi m = f '(x) menyinggung di titik x = x1 membentuk sudut di kuadran IV sehingga nilai tangen sudut bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan M = m ' = f ''(x1) < 0. Dengan kata lain, titik A(x1, y1) adalah titik maksimum jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0. Kesimpulan: lihat Gambar 11.16 misalkan gradien persamaan garis singgung kurva m = f '(x) adalah M sehingga M = m ' = f ''(x) maka hubungan turunan kedua dengan titik stasioner adalah: Tabel 11.4 Hubungan turunan kedua fungsi dengan titik optimal (stasioner)PGSGradien M = m ' = f ''(x)Jenis TitikPergerakan kurvaaMa = f "(x1) < 0MaxNaik-Max-TurunbMb = f "(x2) > 0MinTurun-Min-NaikcMc = f "(x3) < 0MaxNaik-Max-TurundMd = f "(x4) > 0MinTurun-Min-NaikpMp = f "(x5) = 0T. BelokTurun-Belok-TurunqMq = f "(x6) = 0T. BelokNaik-Belok-NaikrMr = f "(x7) = 0T. BelokTurun-Belok-Turun180Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 11.3Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga: 1. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1))disebut stasioner/kritis2. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titk (x1, f(x1)) disebut titik balik minimum fungsi3. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik balik maksimum fungsi4. Jika f ''(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok fungsiContoh 11.15Tentukanlah titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3Alternatif Penyelesaian 1 (Berdasarkan Konsep Fungsi Kuadrat)Dengan mengingat kembali pelajaran fungsi kuadrat. Sebuah fungsi f(x) = ax2 + bx + c mempunyai titik balik BbaDa(,)−−24di mana fungsi mencapai maksimum untuk a < 0 dan mencapai minimum untuk a > 0 sehingga fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai titik balik minimum pada BB((),()()()())(,)−−−−−=−421441341212. Alternatif Penyelesaian 2 (Berdasarkan Konsep Turunan)Dengan menggunakan konsep turunan di atas maka fungsi f(x) = x2 – 4x + 3 mempunyai stasioner: f '(x) = 2x – 4 = 0 atau x = 2 dan dengan mensubstitusi nilai x = 2 ke fungsi y = f(x) = x2 – 4x + 3 diperoleh y = –1 sehingga titik stasioner adalah B(2, –1). Mari kita periksa jenis keoptimalan fungsi tersebut dengan melihat nilai turunan keduanya pada titik tersebut. f "(x) = 2 atau f "(2) = 2 > 0. Berdasarkan konsep, titik tersebut adalah titik minimum. Jadi, titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3 adalah minimum di B(2, –1). 181MatematikaGambar 11.17 Titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3Contoh 11.16Analisislah kurva fungsi y = f(x) berdasarkan sketsa kurva turunan pertamanya berikut.Gambar 11.18 Sketsa turunan pertama suatu fungsi y = f(x)Alternatif PenyelesaianSecara geometri sketsa turunan pertama fungsi di atas, nilai setiap fungsi di bawah sumbu x adalah negatif dan bernilai positif untuk setiap fungsi di atas sumbu x. hGambar 11.19 Analisis fungsi berdasarkan konsep turunan fungsi y = f(x)182Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan demikian, melalui pengamatan dan terhadap grafik turunan pertama dan konsep turunan maka fungsi y = f(x) akan:• Naik (f '(x) > 0) pada a < x < c, c < x < e dan x > i• Turun (f '(x) < 0) pada x < a, e < x < g dan g < x < i• Stasioner (f '(x) = 0) pada absis x = a, x = c, x = e, x = g dan x = i• Optimal maksimum (f '(x) = 0 dan f "(x) < 0) pada absis x = e• Optimal minimum (f'(x) = 0 dan f"(x) > 0) pada absis x = a dan x = i • Titik belok ( f "(x) = 0) pada absis x = b, x = c, x = d, x = f, x = g dan x = h2.2.2 Menemukan konsep maksimum dan minimum di interval terbukaMasalah-11.7Coba kamu amati posisi titik maksimum dan minimum dari beberapa gambar berikut.Gambar 11.20 Titik maksimum dan minimum suatu fungsi Kesimpulan apa yang kamu peroleh?Next >