< Previous183MatematikaAlternatif PenyelesaianGambar A di atas telah kita bahas pada permasalahan 11.6. Jika kamu amati dengan teliti, perbedaan antara gambar A dengan ketiga gambar lainnya (B, C dan D) adalah terdapat sebuah daerah yang membatasi kurva. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah terbuka dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum/minimum sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi. Contoh 11.7Sebuah pertikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukanlah nilai optimal pergerakan partikel tersebut.Alternatif Penyelesaian.Daerah asal fungsi adalah {t | 0 ≤ t ≤ 6} Titik stasioner f '(t) = 0 f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t2 – 6t + 8) dan f "(t) = 6t – 18f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0t = 2 → f (2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0 Karena daerah asal {t | 0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga: t = 0→ f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20 Nilai minimum keempat titik adalah -16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0,-16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6,20). Perhatikan gambar. 184Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 11.21 Titik optimal kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6.Masalah-11.8Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran tetapi terbuat dari bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume 43.120 cm3. Biaya pembuatan alas adalah Rp150,- per cm2, biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp80,- per cm2 sementara biaya pembuatan atap adalah Rp50,- per cm2. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan anak tersebut?Alternatif Penyelesaian.Mari kita sketsa tabung yang akan dibuat. Misalkan r adalah radius alas dan atap tabung, t adalah tinggi tabung π=227.Vrt t r==⇔=2274312072222 x 43120 Biaya = (Luas alas × biaya alas) + (Luas selimut × biaya selimut) + (Luas atap × biaya atap)Biaya = 22722722722rrtr×××50 +80 50+ Gambar 11.22 Tabung r r r 2t t 185MatematikaBiaya = 227227722227222rrrr×1××××5043120 8050++Biaya = 2272rr××2004312080+ Biaya B(r) adalah fungsi atas radius r (dalam Rupiah).BrrrBrrrrr()'()=+=−==44007880070887223 344960034496003449622r3 = 2744 = 143 ó r = 14Jadi biaya minimum =××+×=×+×+=227141461630802200431208020080=123200246400369.6600 Biaya minimum adalah Rp369.600,-Contoh 11.18Kamu masih ingat soal pada Bab Limit Fungsi di kelas X, bukan? Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0, 25t2 + 0,5t(cm2). Tentukanlah kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit.Alternatif penyelesaian pertama (dengan Numerik)Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu.186Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan tabel!Tabel 11.5: Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2 + 0,5t pada saat t mendekati 512∆t = t-5∆f = f(t)-f(5)∆f /∆t1-4-822-3-6,752,253-2-52,54-1-2,752,754,5-0,5-1,43752,8754,9-0,1-0,29752,9754,99-0,01-0,0299752,99754,999-0,001-0,002999752,999754,9999-0,0001-0,0002999972,99997550,00000?5,00010,00010,0003000023,0000255,0010,0010,003000253,000255,010,010,0300253,00255,10,10,30253,0255,50,51,56253,125613,253,25Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t) akan mendekati 3 (cm2/menit).Alternatif Penyelesaian kedua (dengan konsep Limit)f(t) = 0,25t2 + 0,5t f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75lim()()lim(,,)()lim,tttftftttftt→→→−−=+−−=5525550250555025225205875505051755+−−=+−−→,,lim,(,,)tttttt187Matematika50505=+→lim,(,tt3555050535050553535,)()lim,(,,),(,,)tttt−−=+=+=→ x Alternatif Penyelesaian ketiga (dengan konsep Turunan)f(t) = 0,25t2 + ,5tf '(t) = 0,5t + 0,5 = 0 f(5) = 2,5 + 0,5 = 3Kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit adalah 3 (cm2/menit).Contoh 11.19Seorang karyawan berencana akan tinggal di rumah kontarakan setelah dia diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya pengeluaran, ia berharap dapat tinggal di kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja dan uang sewa kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka biaya transportasi adalah c rupiah per km per tahun. Biaya kontrakan adalah bx+1per tahun (dalam rupiah), dengan b dan c adalah konstanta bernilai real positif dan b > c. Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran karyawan tersebut?Alternatif PenyelesaianLangkah 1. Modelkan permasalahanBiaya = Biaya transportasi + Biaya sewa (per tahun)Bxcxbx()=++1dengan daerah asal x ≥ 0Langkah 2. Tentukan titik stasionerB(x) = cx + b(x + 1)-1sehingga B'(x) = c – b(x + 1)-2 = 0188Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK⇔+−+=⇔=−−=−+cxbxxbcxbc()()1101122atauKarena b > c dan x ≥ 0 maka nilai x yang digunakan adalah xbc=−+1Langkah 3. Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsiB'(x) = c – b(x + 1)-2 sehingga B"(x) = 2b(x + 1)-3 = 213bx()+Bbcbbcccb''()()−+==1223Karena b dan c adalah konstanta bernilai real positif maka Bbc''()−+>10 atau merupakan ekstrim minimum. Langkah 4. Tentukan biaya minimumMensubstitusikan nilai x = -1 + bcke fungsi B(x) sehingga Bbccbc()−+=−+12Jadi, biaya minimum karyawan tersebut adalah: −+cbc2(dalam rupiah) per tahun.2.4 Aplikasi Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan PercepatanSecara arti fisis, konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi. Amati dan pelajarilah permasalahan berikut!189MatematikaMasalah-11.9Seorang pembalap melakukan latihan di sebuah arena balap dengan lintasan yang berkelok-kelok. Dia melaju kencang meninggalkan garis start dengan kecepatan yang diatur dengan baik. Di setiap belokan lintasan, dia menurunkan kecepatannya tetapi berharap dengan secepat mungkin menaikkan kecepatan setelah meninggalkan titik belokan tersebut. Demikian dia berlatih membalap dan akhirnya dia berhenti mendekati titik finish. Apakah kamu dapat menemukan hubungan jarak lintasan dan kecepatan? Dapatkah kamu jelaskan ilustrasi di atas berdasarkan konsep turunan?Alternatif Penyelesaian.Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menemukan konsep turunan dan mengaplikasikannya kembali. Misalkan lintasan arena balap tersebut adalah sebuah lintasan yang berupa siklis yaitu garis start dan garis finish adalah sama, tetapi dipandang berlawanan arah. Garis start berarti garis tersebut ditinggalkan atau bergerak menjauhi sementara garis finish berarti garis tersebut didekati.Perhatikan gambar berikut:Gambar 11.24 Lintasan balapPada arena balap yang menjadi variabel adalah waktu sehingga lintasan yang ditempuh merupakan fungsi waktu s = f(t). Dengan demikian, daerah asal fungsi adalah waktu t ≥ 0 karena dihitung sejak diam. Setiap titik pada lintasan akan didekati dan dijauhi, bukan? Hal ini berarti ada peranan kecepatan v(t). Untuk titik yang dijauhi berarti kecepatan positif, dan titik yang akan didekati berarti kecepatan negatif. 190Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 11.6 Kecepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiDiamv(t)= 0Bergerak menjauhi titik tetap (Start)v(t) > 0Bergerak mendekati titik tetap (Finish)v(t) < 0Jadi, bergerak semakin menjauhi ataupun semakin mendekati berarti terjadi perubahan pergerakan pada lintasan, sehingga kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan, ada waktu perubahan waktu yaitu: vtfttfttftt()lim()()'()=+−=→∆∆∆0 atau v(t) = s'(t)Pergerakan pembalap pada lintasan di titik belok diperlambat atau dipercepat, sehingga posisi percepatan adalah sebagai berikut:Tabel 11.7 Percepatan suatu fungsi dan posisinyaPosisiNilaiKonstana(t) = 0Bergerak diperlambat a(t) < 0Bergerak dipercepata(t) > 0Jadi, bergerak dipercepat atau diperlambat berhubungan dengan kecepatan kenderaan tersebut, yaitu terjadi perubahan kecepatan kenderaan. Percepatan a(t) adalah laju perubahan dari kecepatan, yaitu:atvttvttvtt()lim()()'()=+−=→∆∆∆0atau a(t) = v'(t) = s"(t)Contoh 11.20Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t yaitu s(t) = t4 – 6t2 + 12.Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.Alternatif PenyelesaianDiketahui: s(t) = t4 – 6t2 + 12Ditanya: s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0191MatematikaProses penyelesaianKecepatan adalah turunan pertama dari fungsiv(t) = s'(t) = 4t2 –12tPercepatan adalah turunan pertama dari kecepatana(t) = v'(t) = 12t2 – 12 = 0 12(t + 1)(t – 1) = 0 Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:v(1) = s'(1) = 4(1)3 – 12(1) = –8 s(1) = (1)4 – 6(1)2 + 12 = 73. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep TurunanBerdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok. Perhatikan dan pelajarilah contoh berikut.Contoh 11.21Analisis dan sketsalah kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.Alternatif Penyelesaian.Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.f(x) = x4 + 2x3 ó x3(x + 2) = 0 ó x3 = 0 atau x + 2 = 0 ó x = 0 atau x = –2Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0,0) atau B(-2,0)Langkah 2. Menentukan titik stasioner.f '(x) = 4x3 + 6x2 = 0 ó 2x2(2x + 3) = 0 ó 2x2 = 0 atau 2x + 3 = 0 ó x = 0 atau x=−32192Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKNilai f(0) = 0 atau f()−=−322716Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau C(,)−−322716. Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah:f '(x) = 4x3 + 6x2 > 0 ó 2x2(2x + 3) > 0 ó x = 0 atau x=−32Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X. 0 23− + + - Interval Naik Interval Naik Interval Turun Jadi, fungsi akan naik pada x<−32 atau x > 0 dan turun pada −<<320x.Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke turunan kedua fungsi.f "(x) = 12x2 + 12 x sehingga f "(0) = 0Titik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik.f "(x) = 12x2 + 12x sehingga f''()−=>3290 TitikC(,)−−322716adalah titik balik minimum.Langkah 5. Menentukan titik belokf "(x) = 12x2 + 12x = 0 ó 12x(x + 1) = 0Next >