< Previous193Matematika ó 12x = 0 atau x + 1 = 0 ó x = 0 atau x = –1Nilai f(0) = 0 atau f(–1) = –1Jadi, titik belok fungsi adalah A(0,0) atau D(–1, –1).Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantu x-7/4-1/21/41/2y = x4 + 2x3-343/256-3/169/2565/16(x,y)P(-7/4,-343/256)Q(-1/2,-3/16)R(1/4,9/256)S(1/2,5/16)Gambar 11.25 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.Contoh 11.12Analisis dan sketsalah kurva fungsi fxxx()=−21.Alternatif Penyelesaian.Langkah 1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi.fxxx()=−21ó xx210−=ó x2 = 0 dan x – 1 ≠ 0ó x = 0 dan x ≠ 1Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik A(0,0) 194Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLangkah 2. Menentukan titik stasioner.fxxxxx'()()()()=−−−=2111022 ó 2x(x – 1) – x2(1) = 0 dan (x – 1)2 ≠ 0 ó x2 – 2x = 0 dan x ≠ 1ó x(x – 2) dan x ≠ 1ó x = 0 atau x = 2Nilai f(0) = 0 atau f(2) = 4 Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0,0) atau B(2,4).Langkah 3. Menentukan interval fungsi naik/turun. Interval pembuat fungsi naik adalah: fxxxx'()()=−−>22210ó (x2 – 2x)(x – 1)2 > 0ó x(x – 2)(x – 1)2 > 0ó x = 0, x = 2 atau x = 1Ingat pelajaran pertidaksamaan pada kelas X. Interval Turun Interval Naik Interval Naik + + - 2 0 1 - Interval Turun Jadi, fungsi akan naik pada x < 0 atau x > 2 dan fungsi akan turun pada 0 < x < 1 atau 1 < x < 2.Langkah 4. Menentukan titik balik fungsi. Untuk menentukan titik balik maksimum atau minimum fungsi, kita akan menguji titik stasionernya ke turunan kedua fungsi. fxxxx'()()=−−2221sehingga fxxxxxxxx''()()()()()()()()=−−−−−−=−22122111212243195Matematika f "(0) = –2 < 0 dan f "(2) = 2 > 0 Titik A(0, 0) adalah titik balik maksimum dan titik A(2, 4) adalah titik balik minimum.Langkah 5. Menentukan titik belok fxx''()()=−=2103 ó tidak ada nilai x pembuat fungsi turunan adalah nol Jadi, tidak ada titik belok pada fungsi tersebut.Langkah 6. Menentukan beberapa titik bantuGambar 11.26 Sketsa kurva fungsi fxxx()=−21.196Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 11.21. Tentukanlah titik balik fungsi-fungsi berikut! a. f(x) = x2 – 2x b. fxxx()=−+−1223342 c. f(x) = x3 – x d. f(x) = x3 – 6x – 9x + 1 e. f(x) = x4 – x22. Analisis dan sketsalah bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan menunjukkan interval fungsi naik/turun, titik maksimum/minimum dan titik belok! a. f(x) = x2 – 2x b. f(x) = x3 – x c. f(x) = x4 – x2 d. fxx()=−11 e. fxxx()=−+213. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva dari suatu fungsi berdasarkan sketsa turunan pertamanya. a. 197Matematika b. c. d. 4. Seorang anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Kemudian, dia berencana membuat sebuah bangun segiempat di dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut segiempat menyinggung keliling kurva. a. Sketsalah kurva tertutup setengah lingkaran tersebut.b. Buatlah segiempat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva. Sebutkanlah jenis-jenis segiempat yang dapat dibuat.198Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc. Hitunglah masing-masing segiempat yang diperoleh.d. Segiempat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas segiempat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep diferensial.5. Sebuah segiempat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = (x – 1)2. Jika O adalah titik asal koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C pada sumbu y maka tentukanlah persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas.ProjekJika f adalah fungsi bernilai real pada – ∞ < x < ∞. Berdasarkan konsep, turunan adalah sebuah limit fungsi, yaitu fxfxxfxxx'()lim()()=+−→∆∆∆0. Nyatakanlah turunan kedua fungsi f "(x) sebagai limit fungsi. Kemudian tentukanlah turunan kedua dari fxx()=2pada x > 0.Buatlah laporan projekmu dan presentasikanlah di depan teman-temanmu dan gurumu!D. PENUTUPKita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum sebagai berikut:1. Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P(x1, y1) dan Q(x1 + ∆x, y1 + ∆y) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan titik P dan Q dengan gradien mfxxfxxsec()()=+−11∆∆2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva. Gradien garis tangen/singgung di titik P(x1, y1) adalah nilai limit garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis mmfxxfxxxxtanseclimlim()()==+−→→∆∆∆∆0011 199Matematika3. Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan hanya jika nilai lim()()∆∆∆xfcxfcx→+−0ada.4. Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S. 5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai turunan kanan, ditulis: f '(c)= lim()()lim()()xcxcfxfcxcfxfcxcL→→+−−−=−−=.6. Aturan Turunan: Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real, dapat diturunkan maka: f(x) = a → f '(x) = 0 f(x) = ax → f '(x) = a f(x) = axn → f '(x) = axn–1 f(x) = au(x) → f '(x) = au'(x) f(x) = a[u(x)]n → f '(x) = au'(x)[u(x)]n–1 f(x) = u(x) ± v(x) → f '(x) = u'(x) ± v'(x) f(x) = u(x)v(x) → f '(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) fxuxvxfxuxvxuxvxvx()()()'()'()()()'()[()]=→=−27. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada x ∈ I maka Jika f '(x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval I Jika f '(x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval I Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval I Jika f '(x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga: 200Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Jika f '(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut dengan stasioner/kritis. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik minimum fungsi. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik P(x1, f(x)) disebut titik balik maksimum fungsi. Jika f "(x1) = 0 maka titik P(x1, f(x1)) disebut titik belok.9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: vtfttfttftt()lim()()'()=+−=→∆∆∆0atau v(t) = s'(t) Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu: atvttvttvtt()lim()()'()=+−=→∆∆∆0atau a(t) = v'(t) = s"(t)Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:1. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.2. Mendeskripsikan konsep integral tak tentu suatu fungsi sebagai kebalikan dari turunan fungsi.3. Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan matematika yang melibatkan turunan dan integral tak tentu dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.4. Menurunkan aturan dan sifat integral tak tentu dari aturan dan sifat turunan fungsi.5. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika Dalam memecahkan masalah nyata tentang integral tak tentu dari fungsi aljabar.Melalui proses pembelajaran integral, siswa memiliki penga-laman belajar sebagai berikut.• menemukan konsep integral melalui pemecahan masalah otentik;• berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur;• berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep integral dalam memecahkan masalah otentik.INTEGRALBab12• Integral tak tentu• Fungsi aljabar• Derivatif• Antiderivatif202Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB. PETA KONSEPMasalahOtentikIntegralFungsi AljabarPenerapanIntegral Tak TentuIntegral TentuNext >