< Previous203Matematika1. Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari Turunan FungsiMari kita ingat kembali konsep aplikasi turunan pada bidang fisika. Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak dan percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Bila kita berpikir kembali tentang aplikasi ini, bagaimana hubungan kecepatan jika percepatan yang diketahui. Hal ini mempunyai pemikiran terbalik dengan turunan, bukan? Nah, konsep inilah yang akan kita pelajari, yang disebut dengan integral.Integral adalah konsep yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu matematika dan penerapan diberbagai bidang. Ini berarti integral banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu pengetahuan. Menurut sejarah, orang yang pertama kali mengemukakan tentang ide integral adalah Archimedes yang merupakan seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur, dan sebagainya. Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Menurut sejarah pengembangan kalkulus juga sangat besar jasa dan peranan dari George Friederick Benhard Riemann (1826 – 1866).Pada bab ini akan dibahas tentang arti “antiturunan” (anti derivatif), “integral tak tentu”, dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika turunannya diketahui.Masalah-12.1Di pelabuhan selalu terjadi bongkar muat barang dari kapal ke dermaga dengan menggunakan mesin pengangkat/pemindah barang. Barang dalam jaring diangkat dan diturunkan ke dermaga. Terkadang barang diturunkan ke sebuah bidang miring agar mudah dipindahkan ke tempat yang diharapkan. Dari permasalahan ini, dapatkah kamu sketsa perpindahan barang tersebut? Dapatkah kamu temukan hubungan masalah ini dengan konsep turunan (Ingat pelajaran Turunan pada Bab XI)C. MATERI PEMBELAJARAN204Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut:Gambar 12.1 Barang yang diturunkan ke bidang miringSekarang, kita misalkan jaring (barang) yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius.Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 12.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi) pada Bab X, terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali.Berdasarkan Gambar 12.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung pada Bab XI bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 12.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′ yxjaringditurunkanbidang miringGambar 12.2 Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat kartesius y = f(x)+c1y = f(x)+c2y = f(x)+c3....y = f(x)+ckyxgaris singgungy = mx + nGambar 12.3 Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva205Matematikaatau m = dydx= f ′(x) (ingat notasi turunan di Bab XI) sehingga y adalah anti turunan dari m. Dengan demikian anti turunan dari m adalah y = f(x) + ck. Hal ini berarti bahwa nilai konstanta ck dapat berubah-ubah. Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Dan anti turunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut.Masalah-12.2Berdasarkan konsep turunan, beberapa fungsi tersebut bila diturunkan menghasilkan fungsi yang sama. Jika digunakan konsep antiturunan pada fungsi tersebut, bagaimanakah fungsinya? Apakah dapat kembali ke fungsi asal? Berikut adalah fungsi-fungsi yang akan diamati. a) F(x) = 14x4 , b) F(x) = 14x4 + 4, c) F(x) = 14x4 – 8, d) F(x) = 14x4 – 12, e) F(x) = 14x4 – 13207. Turunkan fungsi-fungsi tersebut kemudian amatilah turunan nilai konstantanya! Hubungkan kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya! Buatlah kesimpulan dari hasil pengamatan dari penyelesaian yang kamu peroleh! (petunjuk: turunan fungsi F(x) adalah F′(x) = f(x) = y′ Alternatif Penyelesaian:a) F(x) = 144x Adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx144 = x3 b) F(x) = 1444x+adalah F '(x) = f(x) = y'ddxx1444+ = x3c) F(x) = 1484x−adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1448−= x3206Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd) F(x) = 14124x− adalah Fxfxyddxxx'()()'===−=144312e) F(x) = 14132074x− adalah Fxfxyddxxx'()()'===−=144313207Jika dilakukan pengamatan kepada ketiga fungsi, maka seluruh fungsi F(x) tersebut di atas adalah antiturunan dari fungsi f(x) = x3, sementara fungsi F(x) mempunyai konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.F(x)f(x)F(x) + cturunananti turunanPerhatikan dan pahami definisi dan sifat berikut.Definisi 12.1f : R → R dan F : R → R disebut antiturunan atau integral tak tentu f jika F '(x) = f(x) ∀x ∈ RSifat 12.1Proses menemukan y dari dydxmerupakan kebalikan dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan.Sifat 12.2Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat dikatakan bahwaa. turunan F(x) adalah f (x) danb. antiturunan dari f(x) adalah F(x)207MatematikaContoh 12.1Jika m = 2x – 4 adalah gradien garis singgung dari sembarang kurva f(x). Tunjukkan bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi. Alternatif Penyelesaian:Dengan mengingat konsep gradien suatu garis singung dengan turunan bahwagradien adalah turunan pertama fungsi tersebut maka m = dydx = 2x – 4.Berdasarkan Definisi 12.1 maka y adalah antiturunan dari gradien dydx = 2x – 4 sehingga dengan konsep turunan maka y = x2 – 4x + c dengan c adalah konstanta bernilai real.Dengan c adalah konstanta bernilai real maka terdapat banyak fungsi y = f(x) yang memenuhi gradien garis singgung tersebut.Perhatikan gambar berikut! PGSPGSPGSPGSxyc1c2c3c4Gambar 12.4 Persamaan garis singgung dan fungsi f(x)Pada Gambar 12.4 terdapat banyak persamaan garis singgung yang sejajar. Ingat kembali definisi persamaan garis yang sejajar. Dengan demikian, terdapat juga banyak fungsi (kurva) yang disinggung oleh garis singgung tersebut.208Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 12.11. Tentukan antiturunan dari a. f(x) = 2x e. f(x) = 6x b. f(x) = 3x f. f(x) = 7x c. f(x) = 4x g. f(x) = 8x d. f(x) = 4x h. f(x) = 9x 2. Tentukan antiturunan dari fungsi f(x) berikut! a. f(x) = 2x2 e. f(x) = 4x2 b. f(x) = 2x3 f. f(x) = 4x3 c. f(x) = 3x2 g. f(x) = axn d. f(x) = 3x3 3. Tentukan antiturunan dari a. f(x) = x–2 e. fxx()=−513 b. f(x) = 2x–3 f. fxx()=−2332 c. fxx()=−12 g. fxx()=−10014 d. fxx()=13 h. fxabxn()=−1 dengan a, b bilangan real, b ≠ 0, n rasional.4. Tentukan antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) dibawah ini! a. Jika f(x) = 8x3 + 4x dan g(x) = x4 + x2 b. Jika fxx()= dan gxxx()= c. Jika f(x) = (x + 2)3 dan g(x) = (x + 2)4 5. Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi m = x2 – 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi gradien tersebut. 209Matematika2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu 2.1 Notasi IntegralKita telah banyak membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya pada beberapa fungsi yang sederhana pada sub-bab di atas. Pada kesempatan ini, kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari sebuah fungsi f(x) ditulis dengan menggunakan notasi “∫” (baca: integral).Perhatikan kembali Masalah 12.2. Alternatif penyelesaian di atas, dapat kita tuliskan kembali dengan menggunakan notasi integral tersebut.a) F(x) = 144x Adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx144 = x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414 b) F(x) = 1444x+adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1444+ = x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414c) F(x) = 1484x−adalah F '(x) = f(x) = y' = ddxx1448−= x3 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()()=∫=∫=+3414Contoh 12.2Jika y = 3x4 + 2x3, carilah nilai dydx, kemudian tentukan ∫ 4x3 + 2x2dx.Alternatif Penyelesaian:Jika y = 3x4 + 2x3 maka dydx = 12x3 + 6x2 sehingga diperoleh∫ 12x3 + 6x2dx = 3x4 + 2x3 + c ∫ 3(4x3 + 2x2)dx = 3x4 + 2x3 + c 210Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3 ∫ 4x3 + 2x2dx = 3x4 + 2x3 + c ∫ 4x3 + 2x2dx = x4 + 23x3 + c 2.2 Rumus Dasar Integral Tak TentuBerdasarkan pengamatan pada beberapa contoh di atas, jika semua fungsi yang hanya dibedakan oleh nilai konstantanya diturunkan maka akan menghasilkan fungsi turunan yang sama sehingga bila diintegralkan akan mengembalikan fungsi turunan tersebut ke fungsi semula tetapi dengan konstanta c. Nilai konstanta c disebut tak tentu karena dapat digantikan oleh semua bilangan. Nilai konstanta c akan dapat ditentukan bila diketahui titik yang dilalui oleh fungsi asal tersebut. Titik asal (initial value) dapat disubstitusi ke fungsi hasil antiturunan sehingga nilai c dapat ditentukan.Sifat 12.3Jika F(x) adalah fungsi dengan F′(x) maka ∫ f(x)dx = F(x) + c Dengan c sembarang konstanta Masalah-12.3Pada konsep turunan, kita dapat memperoleh aturan turunan dengan menggunakan konsep limit fungsi sehingga proses penurunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan lebih sederhana dan cepat. Bagaimana dengan konsep integral suatu fungsi? Adakah aturan yang dapat dimiliki agar proses integrasi suatu fungsi atau mengembalikan fungsi turunan ke fungsi semula dapat dilakukan dengan cepat?Alternatif Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan ini, kita akan melakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 12.1211MatematikaTabel 12.1 Pola hubungan turunan dan antiturunan fungsi y = axnTurunan Fungsi (f(x))Antiturunan Fungsi (F(x))Pola1x010+1111==10+1xxx2xx2121+1222==21+1xxx3x2x3132+1333==32+1xxx 8x32x4333+1888==43+1xxx 25x45x5454+1252525==54+1xxx .........anxn-1axn−-1(-1)+1==1(1)+1nnnaananxxxnaxn?n+1+1axnDari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau pola anti turunan dari turunannya yaitu 11nnaaxdxxn+=∫+.Agar kamu dapat melihat kebenaran pola ini, kamu harus memperlihatkan lebih banyak contoh yang melahirkan aturan tersebut seperti pada Tabel 12.1. Kamu lakukan kembali proses yang dilakukan pada Tabel 12.1 pada kegiatan berikut. 212Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 12.1Tentukanlah turunan dan antiturunan fungsi-fungsi yang diberikan pada tabel berikut seperti yang dilakukan pada Tabel 12.1Tabel 12.2 Pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi F(x)Turunan Fungsi (f(x))Antiturunan Fungsi (F(x))Pola...x10......x-2......-3x-12......-3x5 + 4x-5......0,5x0,5 - 1,25x1,5 + 2,5x-1,5......132x...113211+23xx−11--323223xx...2x-1......0,55x-1......-132x...Next >