< PreviousKompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarA. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJARSetelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya.3. Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata.4. Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan peluang suatu kejadian dalam suatu percobaan.5. Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/rumus peluang dalam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata serta menjelaskan alasan-alasannya.6. Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan.• Berkolaborasi memecahkan masalah autentik dengan pola interaksi edukatif..• Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik.ATURAN PENCACAHAN• Pencacahan• Permutasi • Kombinasi • Kejadian• Ruang Sampel• Titik Sampel• PeluangBab8Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi DasarPengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran turunan siswa mampu:7. Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya. 8. Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut.9. Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentukan Peluang dan harapan suatu kejadian dari masalah kontektual.Melalui pembelajaran materi aturan pencacahan, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip aturan pencacahan melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan.• Berkolaborasi memecahkan masalah autentik dengan pola interaksi edukatif..• Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip aturan pencacahan dalam memecahkan masalah otentik.35MatematikaB. PETA KONSEPMasalahOtentikdapat dihitung melaluidihitung menggunakanAturanPerkalianPermutasiTitik SampelRuang SampelKombinasiTeorema BinomalPeluangKaidah PencacahanUnsur Peluang36Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK1. Menemukan Konsep Pencacahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi)a. Aturan PerkalianSetiap orang pasti pernah dihadapkan dalam permasalahan memilih atau mengambil keputusan. Misalnya: setelah tamat sekolah akan memilih program studi dan di perguruan tinggi yang mana? Ketika berangkat ke sekolah memilih jalur yang mana. Dalam matematika kita dibantu untuk menentukan banyak pilihan yang akan diambil. Untuk lebih memahami cermati masalah dan kegiatan berikut.Masalah-8.1Beni, seorang siswa Jurusan IPA lulusan dari SMA Negeri 1 Tarutung Tahun 2013 ingin menjadi mahasiswa di salah satu perguruan tinggi negeri (PTN) yang ada di pulau Sumatera pada Tahun 2013. Ayah Beni menyetujui cita-cita Beni asalkan kuliah di Medan. Di Medan terdapat PTN dan juga memiliki jurusan yang digemari dan yang dipilih oleh Beni, yaitu Biologi atau Pendidikan Biologi. Panitia SNMPTN memberikan kesempatan kepada calon mahasiswa untuk memilih maksimum tiga jurusan di PTN yang ada di Indonesia. Bantulah Beni untuk mengetahui semua kemungkinan pilihan pada saat mengikuti SNMPTN Tahun 2013?Alternatif PenyelesaianUntuk mengetahui semua pilihan yang mungkin, kita harus mengetahui apakah semua PTN di Medan memiliki Jurusan Biologi atau Jurusan Pendidikan Biologi. Ternyata, hanya USU dan Unimed saja yang memiliki pilihan Beni tersebut. USU hanya memiliki Jurusan Biologi, tetapi Unimed memiliki Jurusan Biologi dan Jurusan Pendidikan Biologi. Sesuai aturan panitia SNMPTN, Beni diberi kesempatan memilih maksimal 3 dan minimal 1 jurusan.Mari kita uraikan pilihan-pilihan yang mungkin.Untuk 3 Pilihan1. Seandainya Beni memilih 3 pilihan tersebut di satu kota, maka pilihannya adalah: Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Pend. Biologi UNIMED Pilihan 3: Biologi UNIMEDC. MATERI PEMBELAJARAN37MatematikaUntuk 2 Pilihan1. Beni hanya boleh memilih 2 jurusan di UNIMED, yaitu: Pilihan 1: Pend. Biologi UNIMED Pilihan 2: Biologi UNIMED2. Beni juga memilih 1 jurusan di USU dan 1 di UNIMED, yaitu: Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Pend. Biologi UNIMED Atau Pilihan 1: Biologi USU Pilihan 2: Biologi UNIMEDUntuk 1 Pilihan1. Beni boleh hanya memilih Biologi USU.2. Beni boleh hanya memilih Pend. Biologi UNIMED3. Beni boleh hanya memilih Biologi UNIMEDJadi, banyak cara memilih yang mungkin yang dimiliki Beni sebanyak 7 cara.• Menurut kamu, seandainya tidak ada strategi memilih jurusan, berapa cara yang dimiliki Beni?• Coba kamu pikirkan, bagaimana pola rumusan untuk menghitung banyak cara yang mungkin untuk Masalah 8.1.Pernahkah kamu mengikuti pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu?Mari kita cermati contoh berikut, sebagai masukan jika suatu saat kamu menjadi panitia pemilihan pengurus OSIS di sekolahmu.Contoh 8.1Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?Alternatif PenyelesaianAda beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut.Ingat!!!!Ada strategi memilih jurusan.38Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKi. Cara Mendaftar Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu: a. Jabatan ketua OSISUntuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara. b. Jabatan sekretaris OSISKarena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa. c. Jabatan bendahara OSISKarena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu kandidat.Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat untuk menjadi pengurus OSIS adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.iI. Cara DiagramUntuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut.Gambar 8.1 Diagram Pohon Pemilihan Ketua OSIS39Matematika♦ Misalnya, Abdul merupakan siswa kelas X, Beny dan Cindy dari Kelas XI. Berapa banyak cara memilih pengurus OSIS jika Bendahara OSIS merupakan siswa dari kelas XI.Biasanya di kota-kota besar terdapat banyak jalur alternatif menuju suatu tempat dan jalur ini diperlukan para pengendara untuk menghindari macet atau mengurangi lama waktu perjalanan. Contoh berikut mengajak kita mempelajari banyak cara memilih jalur dari suatu kota ke kota lain.Contoh 8.2Dari Kota A menuju Ibukota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar 8.1.Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?Gambar 8.2 Jalur dari Kota A ke Kota DAlternatif Penyelesaian• Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota B Dari kota A ke kota B terdapat 4 jalur yang dapat dilalui, sedangkan dari kota B terdapat 3 jalur yang dapat dilalui menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 4 × 3 = 12 cara.• Perhatikan jalur dari kota A ke kota D melalui kota C Terdapat 3 jalur dari kota A menuju kota C dan 3 jalur dari kota C menuju kota D. Jadi banyak cara memilih jalur dari kota A menuju kota D melalui kota B adalah 3 × 3 = 9 cara.Jadi banyak jalur yang dapat dilalui melalui Kota A sampai ke Kota D adalah 12 + 9 = 21 cara. 40Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK♦ Seandainya ada satu jalur yang menghubungkan kota B dan kota C, berapa banyak jalur yang dapat dipilih dari kota A menuju kota D?Kegiatan 8.1Catatlah baju, celana, dan sepatumu berdasarkan warna, kemudian isilah dalam bentuk tabel berikut ini:Tabel 8.1 Tabel Daftar Warna PakaianBajuCelanaSepatuPutihHitamCoklatMerahAbu-abuHitamBiruCoklatPutih Salin dan lengkapi tabel di atas kemudian perhatikan data yang diperoleh dan cobalah menjawab pertanyaan berikut:1. Jika diasumsikan setiap warna dapat dipasangkan, berapa banyak kemungkinan warna baju dan warna celana yang dapat dipasangkan?2. Berapakah banyak kemungkinan pakaian lengkap yakni baju, celana, dan sepatu kamu yang dapat dipasangkan?Alternatif Penyelesaian1. Jika diasumsikan setiap warna pada baju, celana dan sepatu dapat dipasangkan maka dapat ditentukan kemungkinan pasangan yang dihasilkan; yakni:Banyak warna baju × banyak warna celana = Banyak pasangan warna baju dan celana.2. Banyak pemasangan baju, celana, dan sepatu untuk tabel di atas adalah:Banyak warna baju × Banyak warna celana × Banyak warna sepatu = Banyak kombinasi warna pakaian.Dalam dunia kerja seorang pemimpin atau karyawan juga pernah dihadapkan dengan bagaimana memilih cara untuk menyusun unsur atau memilih staff. Masalah berikut ini, mengajak kita untuk memahami bagaimana cara kerja pada suatu supermarket. 41MatematikaMasalah-8.2Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Alternatif PenyelesaianMari kita uraikan permasalahan di atas. Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi: Perhatikan untuk mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan. Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin (mengapa?). Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin (mengapa?). Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?). Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: 5765Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara.42Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBerkaitan dengan Masalah 8.2, Hitunglah banyak cara menyusun nomor seri barang, jika angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 diperbolehkan berulang. Seandainya manager supermarket tersebut ingin menyusun nomor seri barang adalah bilangan-bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka. Berapa cara menyusun nomor seri tersebut.Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini.Aturan Perkalian :Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan:n1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusunn3 = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun :nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek- unsur sebelumnya tersusunMaka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:n1 × n2 × n3 × ... × nk.♦ Dari pembahasan masalah, contoh dan kegiatan di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini.Matematika merupakan bahasa simbol. Oleh karena itu, penulisan aturan perkalian di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan faktorial. Mari kita pelajari dengan teliti materi berikut. b. FaktorialPada pembahasan di atas kamu telah melakukan perkalian 3 × 2 × 1 = 6. Coba anda lakukan perkalian berikut:1) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...2) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...3) 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = ...Next >