< Previous43MatematikaPerkalian-perkalian semua bilangan bulat positif berurut di atas dalam matematika disebut faktorial, yang biasa disimbolkan dengan "!"Maka perkalian tersebut dapat dituliskan ulang menjadi:1) 3 × 2 × 1 = 3! 2) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!3) 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7!4) 9 × 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 9!Secara umum faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut:Definisi 8.1a) Jika n bilangan asli maka n! (dibaca “n faktorial”) didefinisikan dengan: ()()()n!=n×n-1×n-2×n-3×...×3×2×1 atau ()()()n!=1×2×3×...×n-3×n-2×n-1×nb) 0! = 1 Contoh 8.31. Hitunglah:a. 7! + 4! b. 7! × 4! c.7!4!Alternatif Penyelesaian a. 7! + 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1) = 5.040 + 24 = 5.064 b. 7! × 4! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 1) = 5.040 × 24 = 120.960 c. 7!4!7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1==21044Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk faktorial. a. 7 × 6 b. (6!) × 7 × 8 c. n × (n – 1) × (n – 3)Alternatif Penyelesaiana. 7 × 6=7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 15 × 4 × 3 × 2 × 1=75!! Maka dapat dituliskan bahwa 7 × 6=7!5!.b. (6!) × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 8! c. Kerjakan secara mandiri3. Diketahui ()()()14.1!.4!4!5.!.5!120nnnn−−=−, tentukanlah nilai n, dengan n bilangan asli.Alternatif Penyelesaian()()()14.1!.4!4!5.!.5!120nnnn−−=− ⇔ ()()()()()14.1!.4!4!5..1!.5.4!120nnnnnn−−=−−− ⇔ ()144!5..5120nn=− ⇔ ()145!.5120nn=− ⇔ n2 – 5n –14 = 0∴ n = 7.c. Permutasi1) Permutasi dengan Unsur yang BerbedaMasalah-8.3Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari:a. Tiga angka pertama.b. Empat angka yang tersedia.45MatematikaAlternatif Penyelesaiana. Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah: 123 132 213 231 312 321 Terdapat 6 angka kupon antrian.b. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah: 123 142 231 312 341 421 124 143 234 314 342 423 132 213 243 321 412 431 134 214 241 324 413 432 Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.Mari kita cermati bagaimana menyelesaikan masalah di atas dengan menggunakan konsep faktorial.1. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3 maka banyak susunan nomor antrian adalah: 6321321131333=××=××==−()!!!!2. Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4 maka banyak susunan nomor antrian adalah: 2443214321141443=×××=×××==−()!!!!Demikian selanjutnya jika diteruskan, banyak susunan k angka dari n angka yang disediakan yang dapat dibuat adalah:()!!nnk− dengan n ≥ k. (*)Untuk menguji kebenaran pola rumusan (*), coba kita gunakan untuk memecahkan masalah berikut ini.46Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-8.4Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Biasanya 8 bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk acara pentas seni sekolah tersebut?Alternatif PenyelesaianUntuk mengetahui banyak susunan pengurus dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:a) Dengan cara mendaftar: Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut: AB BA CA DA EA AC BC CB DB EB AD BD CD DC EC AE BE CE DE ED Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.b) Dengan Aturan Perkalian Untuk masalah ini, akan dipilih 2 pengurus dari 5 kandidat yang ada. Dengan menggunakan pola rumusan (*) diperoleh: n = 5 dan k = 2 maka ()()!5!!52!nnk=−− = 20 caraDengan pembahasan Masalah 8.3 dan 8.4 ditemukan bahwa banyak susunan k unsur berbeda dari n unsur yang tersedia dan memperhatikan urutan susunannya dapat dirumuskan dengan nnk!!−(). Bentuk susunan ini dikenal dengan ”permutasi”.47MatematikaDefinisi 8.2Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan nkP atau nkP serta P(n, k) dengan k ≤ n.• Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan ()()−−nnP=n×n1×n2×L×3×2×1=n! • Banyak permutasi unsur dari n unsur yang tersedia, dapat ditentukan dengan:()nkn!P=n-k!Pada buku ini, penulisan permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia kita menggunakan: nkP. Sekarang cermati permutasi-permutasi di bawah ini: 1) ()10110!109!10101!9!P×===− 2) ()10910!10!10!109!1!P===− 3) ()878!8!8!87!1!P===− 4) ()454445!45!45!4544!1!P===− 5) ()100011000!1000999!100010001!999!P×===− 6) ()201420132014!2014!2014!20142013!1!P===− 7) ()100010001000!1000!1000!10001000!0!P===− Diperlukan strategi untuk menyelesaikan perkalian dengan faktorial.48Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDari pembahasan permutasi-permutasi di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini. Sifat 8.1Diketahui ()nkn!P=n-k!, dengan n ≥ k.1) Jika n – k = 1, maka ()nkn!P=n-k! = n!.2) Jika k = 1, maka ()nkn!P=n-k! = n.3) Jika n – k = 0, maka ()nkn!P=n-k! = n!.Bukti:1) Diketahui ()!!nknPnk=− , dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1. Akibatnya: ()!!nknPnk=− ⇔ ()()!!!!!1!1!nknnnPnnkkk====−+− ∴ ()!!nknPnk=−= n!.2) Diketehui k = 1 dan ()!!nknPnk=−, dengan n ≥ k, maka: ()!!nknPnk=− ⇔ ()()()11!!1!1!nnnnPnnn×−===−−3) Kerjakan sebagai latihanmu.49Matematika2) Permutasi dengan Unsur-Unsur yang SamaMasalah-8.5Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA?Alternatif PenyelesaianTersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, huruf-huruf yang sama (huruf A) diberi label A1, dan A2. Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:A1PA2, A2PA1, A1A2P, A2A1P, PA1A2, PA2A1.Susunan-susunan tersebut dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila labelnya dihapuskan.Misalnya: Kelompok A1PA2 dan A2PA1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA . Kelompok A1A2P, A2A1P , jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP. Kelompok PA1A2, PA2A1, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA.Dalam tiap-tiap kelompok di atas terdapat 2! = 2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur A1 dan A2. Sedangkan A1 dan A2 menjadi unsur-unsur yang sama jika labelnya dihapuskan. Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut.32,13!2!.1!P==3 susunan50Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah-8.6Pada sebuah upacara pembukaan turnamen olah raga disusun beberapa bendera klub yang ikut bertanding. Terdapat 3 bendera berwarna putih, 2 bendera berwarna biru, dan 1 bendera berwarna merah. Tentukanlah susunan bendera yang ditampilkan pada acara upacara pembukaan tersebut!Alternatif PenyelesaianDengan analogi yang sama pada Masalah 8.5 diperoleh:Banyak unsur yang tersedia 6, sedangkan unsur yang sama adalah1. 3 bendera berwarna putih 2. 2 bendera berwarna biru dan 1warna merah. Oleh karena itu dapat diperoleh banyak permutasi dari 6 unsur yang memuat 3 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama adalah63,2,16!3!.2!.1!P= susunanDari pembahasan Masalah 8.5 dan 8.6 , dapat kita rumuskan pola secara umum permutasi n unsur dengan melibatkan sebanyak k1, k2, k3, …, kn unsur yang sama adalah sebagai berikut.Sifat 8.2Misalkan dari n unsur terdapat k1, k2, k3, …, kn unsur yang sama dengan k1 + k2 + k3 + …+ kn ≤ n. Banyak permutasi dari unsur tersebut adalah123,,,...,123!!!!...!nnkkkknnPkkkk=Contoh 8.4Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K? 51MatematikaAlternatif PenyelesaianTersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K. Dari 13 unsur yang tersedia memuat 4 huruf I yang sama, 2 huruf K yang sama dan 2 huruf T yang sama. Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I T I V I S T I K adalah sebagai berikut:kK + kO + kG + kN + kI + kT + kV + kS = 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 13.Jadi permutasi yang melibatkan unsur yang sama, dihitung dengan menggunakan Sifat 8.2, diperoleh:123!13!129.729.600 cara.!.!.!....!2!.1!.1!.1!.4!.2!.1!.1!knkkkk==Sampai sejauh ini, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan susunan unsur baik yang melibatkan unsur yang sama atau tidak. Pernahkan kamu melihat susunan objek- unsur dalam suatu meja berputar? Bagaimana menentukan banyak cara menyusun unsur jika disusun melingkar? Berikut ini, kita akan pelajari permutasi siklis sebagai cara menentukan banyak cara menyusun unsur yang tersusun melingkar. c. Permutasi SiklisMasalah-8.7Beny (B), Edo (E), dan Lina (L) berencana makan bersama di sebuah restoran. Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka. Selang beberapa waktu Siti datang bergabung dengan mereka. Berapa banyak cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar tersebut?Alternatif PenyelesaianMeskipun dalam keseharian kita tidak mempersoalkan urutan posisi duduk mengitari suatu meja, tidak ada salahnya kita menyelidiki posisi duduk Beny, Edo, Lina, dan Siti yang duduk mengitari meja bundar. Adapun posisi duduk yang mungkin keempat orang tersebut adalah sebagai berikut:52Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK (f) B E L S B L E (d) S (e) B E L S (c) B E L S (b) B E L S B L E (a) S Gambar 8.3 Susunan posisi tempat dudukTerdapat 6 cara posisi duduk keempat mengitari meja bundar tersebut.• Ternyata, pola (n – 1)! Akan menghasilkan banyak cara dengan banyak cara yang diperoleh dengan cara manual, yaitu (4 – 1)! = 3! = 6 cara. Coba temukan susunan posisi duduk Beny, Edo, dan Lina secara manual. Kemudian bandingkan dengan menggunakan pola (n – 1)!.Masalah-8.8Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi (Jakarta), Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebutAlternatif PenyelesaianMisalkan kelima kepala cabang tersebut duduk melingkar, seperti diilustrasikan pada gambar berikut ini.Next >