< Previous53Matematika Posisi kepala cabang sebelum rotasi F C T N R J S B M P F C T R N J S B M P Pilihan rotasi 1 F R C T N J S B M P Pilihan rotasi 4 F R C T N J S B M P Pilihan rotasi 5 F C R T N J S B M P Pilihan rotasi 2 F C R N T J S B M P Pilihan rotasi 3 Gambar 8.4 Ilustrasi rotasi kepala cabang bank swasta ♦ Menurut kamu, ada berapakah pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut? Berikan penjelasanmu.Untuk menentukan banyak cara menyusun unsur dalam posisi melingkar, kita dapat menguji validitas pola (n – 1)!.• Jika terdapat 4 unsur, maka banyak susunan adalah (4 – 1)! = 3! = 6 cara.• Jika terdapat 3 unsur, maka banyak susunan adalah (3 – 1)! = 2! = 2 cara.• Jika terdapat 5 unsur, maka banyak susunan adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.Secara umum, jika terdapat n unsur yang disusun melingkar, maka banyak susunan unsur yang mungkin disebut permutasi siklis, dinyatakan dalam sifat berikut ini.54Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 8.3Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur tersebut dinyatakan:()−siklisP=n1!♦ Perhatikan kembali Masalah 8.8, karena alasan keluarga Fahmi dan Trisnawati hanya mau dirotasi jika mereka berdua ditempatkan di pulau yang sama. Berapa pilihan rotasi kepala cabang bank swasta yang mungkin? Kerjakan secara mandiri dan bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu.1.4 Kombinasi Cara menyusun unsur dengan memperhatikan urutan telah dikaji pada sub pokok bahasan permutasi. Selanjutnya, dalam percakapan sehari-hari kita mungkin pernah mengatakan “kombinasi warna pakaian kamu sangat tepat” atau tim sepakbola itu merupakan kombinasi pemain-pemain handal”. Apakah kamu memahami arti kombinasi dalam kalimat itu? Untuk menjawabnya, mari kita pelajari makna kombinasi melalui memecahkan masalah-masalah berikut ini.Masalah-8.9Hasil seleksi PASKIBRA di Kabupaten Bantul tahun 2012, panitia harus memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera dari 5 PASKIBRA yang terlatih, yaitu Abdul (A), Beny (B), Cyndi (C), Dayu (D), dan Edo (E). 3 PASKIBRA yang dipilih dianggap memiliki kemampuan sama, sehingga tidak perhatikan lagi PASKIBRA yang membawa bendera atau penggerek bendera.Berapa banyak pilihan PASKIBRA yang dimiliki panitia sebagai pengibar bendera?Alternatif PenyelesaianMari kita selesaikan masalah ini dengan cara manual, sambil memikirkan bagaimana pola rumusan untuk menyelesaikannya.Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai pengibar bendera adalah sebagai berikut:• Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi• Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu55Matematika• Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo• Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu• Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo• Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo• Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu• Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo• Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo• Pilihan 10: Cyndi, Dayu, EdoTerdapat 10 pilihan PASKIBRA sebagai pengibar bendera.Dengan menggunakan faktorial, 10 cara yang ditemukan dapat dijabar sebagai berikut:10 = 53!3× atau ()()543215!10213212!.3!××××==×××× (#)♦ Seandainya terdapat 4 PASKIBRA, berapa banyak cara memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera? Coba kerja dengan cara manual, kemudian coba uji dengan menggunakan pola (#). Perlu kita cermati, bahwa susunan kali ini perlu digarisbawahi bahwa pilihan (Abdul, Badu, Cyndi) sama dengan pilihan (Abdul, Cyndi, Badu) atau (Badu, Abdul, Cyndi) atau (Badu, Cyndi, Abdul) atau (Cyndi, Abdul, Badu) atau (Cyndi, Badu, Abdul). ♦ Jika pembawa bendera harus PASKIBRA perempuan, berapa banyak pilihan pengibar bendera yang mungkin? Coba kerjakan secara mandiri.Masalah-8.10Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda campuran. Berapa banyak pasangan yang dapat dipilih oleh tim pelatih?56Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianMari kita selesaikan masalah ini dengan menggunakan cara manual. Untuk memilih 1 pasangan ganda campuran berarti memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan memilih 1 atlit laki-laki dari 4 atlit laki-laki.Misalkan tiga atlit wanita kita beri inisial: AW1¬, AW2, AW3; dan 4 atlit laki-laki kita beri inisial: AL1¬, AL2, AL3, AL4.Dengan menggunakan metode diagram, banyak pilihan 1 pasangan ganda campuran dinyatakan sebagai berikut: AW1 AL1 AL2 AL3 AL4 AW2 AL1 AL2 AL3 AL4 AW3 AL1 AL2 AL3 AL4 Terdapat 12 pasangan ganda campuran yang dapat dipilih. Gambar 85 Diagram pohon pilihan pasangan ganda campuranDengan menggunakan faktorial, mari kita mencoba menentukan jabarkan 12 cara dengan menerapakan pola (#).12 = 3 × 4 = 343!4!1!1!111!.2!1!.3!×××=×57MatematikaDari pembahasan Masalah 8.9 dan 8.10, memilih k unsur dari n unsur tanpa memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi. Kombinasi k unsur dari n unsur yang didefinisikan sebagai berikut.Definisi 8.3Kombinasi k unsur dari n unsur biasa dituliskan nkC; nkC ; C(n, k) atau nr Banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan: ()nkn!C=n-k!.k!, dengan n ≥ k, n, k merupakan bilangan asli.Untuk keseragaman notasi, pada buku ini kita sepakati menggunakan simbol nkCuntuk menyatakan kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.Contoh 8.5Selidiki hubungan nkPdengan nkC.Alternatif PenyelesaianPada Definisi 8.2 ()!!nknPnk=−. Sedangkan berdasarkan Definisi 8.3 ()!!.!nknCnkk=−.Dari kedua definisi tersebut, dipereoleh hubungan:!nnkkPCk=.♦ Secara hitungan matematis, hubungan nkP dengan nkC adalah !nnkkPCk= . Jelaskan arti hubungan tersebut secara deskriptif.Dari pembahasan komputasi dan Contoh 8.5 di atas, dapat kita simpulkan sifat berikut ini.58Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 8.4Diketahui ()nkn!C=n-k!.k!, dengan n ≥ k.1) Jika n – k = 1, maka ()nkn!C=n-k!.k!= n.2) Jika k = 1, maka ()nkn!C=n-k!.k!= n.3) Jika n = k, maka ()nkn!C=n-k!.k! =1.4) Jika ()nkn!P=n-k!, maka nnkkPC=k! .Bukti:1) Diketahui ()!!.!nknCnkk=−, dengan n ≥ k, dan n – k = 1 atau n = k + 1, maka: ()!!.!nknCnkk=− = ()()()()1!1!1.1!.!1!.!kkkknkkkk++×==+=+− 2) Karena k = 1, dan ()!!.!nknCnkk=−, dengan n ≥ k, maka: ()!!.!nknCnkk=− ()()()()11!!.1!.1!1!.1!nnnnCnnn×−⇔===−−3) Kerjakan sebagai latihanmu.1.5 Binomial NewtonKamu telah mempelajari tentang kombinasi sebagai bagian dari aturan pencacahan. Dengan menggunakan konsep kombinasi dapat juga kita kembangkan pada bahasan binomial. Perhatikan perpangkatan berikut ini.59Matematika ()()()()()()()()()()01222322232231111211211331ababababababaabbababababaabbaababb+=+=++=++=+++=++=+++=+++ ()()()()()433223432233133114641ababababaababbaabababb+=++=++++=++++Bagaimana untuk penjabaran pada perpangkatan yang lebih tinggi? Untuk itu perhatikan langkah berikut. Dengan menggunakan sifat distribusi penjabaran dari (a + b)4 adalah: aaabababbbaababababa×()++++×()++++146411464143223354322344babababbaababababb++++++++++46411510105132234554322345Sehingga diperoleh (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5.Koefisien-koefisien penjabaran di atas jika disusun dalam bentuk diagram dapat menghasilkan gambar di bawah ini:11112113311464115101051Diagram di atas dikenal dengan sebutan segitiga Pascal60Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSekarang amati pola segitiga Pascal. Dengan menggunakan konsep kombinasi nrCdapat dikaitkan dengan pola segitiga Pascal di atas yakni: CCCCCCCCCCCCCC000111022203330444055512132312==============33danseterusnya sehingga dengan menggunakan konsep kombinasi maka dapat diperoleh pola segitiga Pascal yang baru, yakni:Dari uraian di atas maka penjabaran perpangkatan dapat kita tuliskan kembali dalam bentuk kombinasi yaituabCabCaCbabCaCabCbabC+()=+()=++()=+++()=00010111202212222300331322323334044143242234aCabCabCbabCaCabCabCab++++()=+++33443505515425323523454555++()=+++++CbabCaCabCabCabCabCb61MatematikaDengan pola di atas, dikenal sebagai aturan Binomial Newton (ekspansi binomial) dan bentuk umum (a + b)n dituliskan sebagai berikut:Aturan Binomial NewtonabCaCabCabCbabCannnnnnnnnnnnrnn+()=+++++()=−−−−011111ataurrrnb=∑0n, r merupakan bilangan asli. Contoh 8.6Jabarkan bentuk binomial berikut ini:1. (2a – 5)3 = 2. (a + b)5 =3. (3a + 2b)4 = 4. 52aa+= 5. Diketahui binomial 1412aa+. Jabarkanlah 3 suku pertama dan dua suku terakhir.6. Tentukanlah koefisien dari pada bentuk binomial 1222aa+.Alternatif Penyelesaian1. Dari soal di atas diketahui a = 2a dan b = 5 maka 252525252528303301321231233033aCaCaCaCaa−()=()+()+()+()=()13453225111252516601501252332+()+()+()−()=+++aaaaaa62Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. abCabCabCabCabCabC+()=+++++−−−−606601661126622366334664456abCabaabababababa655666666514433241511615201561−−+=++++++06654433246661520156baabababababb=++++++3. Cermati ekpansi di bawah ini. 3233340440144112442234433abCabCabCabCab+()=()+()+()+()+−−−Cabaabababab44444431221304181143634313()=()+()+()+()+()=−881481694318132454124322344322aabababbaababa+()+()+()+=+++bb34+♦ Sebagai latihan untuk mengasah kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal binomial newton, kerjakan secara mandiri soal nomor 4, 5, dan 6. Uji Kompetensi 8.11. Seorang staff ahli di suatu POLDA mendapat tugas untuk menyusun nomor pada plat kendaraan roda empat yang terdiri 3 angka dan 4 angka. Staff tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 untuk plat yang terdiri dari 3 angka dan angka 0 sampai 9 untuk plat yang terdiri 4 angka. a) Berapa cara menyusun plat kendaraan yang terdiri dari 3 angka dan 4 angka? b) Jika nomor-nomor plat tersebut akan dilengkapi dengan seri yang terdiri dari dua huruf vokal. Berapa banyak susunan seri plat yang mungkin? 2. Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Rangkailah bilangan yang terdiri dari 5 angka yang berbeda dengan syarat:a) Bilangan ganjilb) Bilangan genap3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut.Next >