< Previous63Matematika4. Tentukan nilai dari: 89388641!!!!×× 5. Sederhanakanlah persamaan berikut: a. nn!!−()1 b. nn+()2!! c. nn+()−()11!!6. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?7. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?8. Tentukan banyak susunan pemain yang berbeda dari team bola voli yang terdiri dari 10 pemain bila salah seorang selalu menjadi kapten dan seorang lain tidak bisa bermain karena cedera!9. Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak?10. Suatu delegasi terdiri dari 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Hitunglah banyak cara memilih delegasi tersebut. 11. Seminar Matematika dihadiri oleh 20 orang. Pada saat bertemu mereka saling berjabat tangan satu dengan yang lain. Berapakah jabat tangan yang terjadi?12. Perhatikan gambar berikut. Jika suatu segitiga dibentuk dengan menggunakan 3 titik. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk.13. Tentukanlah banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf: a. MATEMATIKA c. TRIGONOMETRI b. PENDIDIKAN d. MALAKA64Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK11. Jabarkanlah bentuk binomial berikut ini: a. (2a + 3b)8 c. 226ab+ b. (4a + 2b)10 d. 23138ab+ProjekRancang suatu permainan yang menggunakan konsep aturan pencacahan. Sebelum kamu susun laporan projek ini, terlebih dahulu lakukan simulasi sebagai uji validitas penggunaan konsep.2. PELUANGKamu sudah mempelajari konsep peluang pada Bab 12 Buku Matematika kelas X. Dengan pengalaman belajar itu, kita akan mengembangkan konsep peluang dengan memperhatikan banyak cara semua kejadian mungkin terjadi dan banyak cara suatu kejadian mungkin terjadi. Dengan demikian, pada sub bab ini, kita akan mendalami bagaimana menentukan banyak anggota ruang sampel kejadian dengan menggunakan konsep aturan pencacahan.Mari kita mulai sub bab ini dengan mengkaji ruang sampel suatu kejadian.2.1 Konsep Ruang SampelMasih ingatkah kamu konsep himpunan yang kamu pelajari di kelas VII SMP? Pada sub bab ini, kita ingin membangun konsep ruang sampel dengan menggunakan konsep aturan pencacahan melalui konsep himpunan bagian.Mari kita cermati pembahasan di bawah ini.Diberikan S = {p, r, s, t} n(S) = 4. Tentu kamu masih ingat bagaimana cara menentukan himpunan bagian dari S. Semua himpunan bagian S disajikan di tabel berikut ini.65MatematikaTabel 8.2: Himpunan bagian S dengan tidak memperhatikan urutanHimpunan Bagian Beranggota43210Kejadian{p, r, s, t}{p,r,s},{p,r,t},{p,s,t}{r,s,t}{p,r}, {p,s}, {p,t}, {r,s},{r,t}, {s,t}{p}, {r}, {s}, {t}∅1614641Total2n44C43C42C41C40CPerhatikan angka-angka; 1, 4, 6, 4, 1 merupakan koefisien binomial untuk ekspansi (a + b)4, yang dapat ditentukan berturut-turut melalui 40C , 41C , 42C, 43C, dan 44C.Dari tabel di atas, dapat diartikan bahwa banyak kejadian munculnya 2 anggota himpunan bagian dari S adalah 42C = 6. Banyak semua himpunan bagian dari himpunan S = 24 = 16. Himpunan kuasa S adalah koleksi semua himpunan bagian S (Ingat kembali konsep himpunan kuasa seperti yang telah kamu pelajari pada kelas VII SMP). Jadi 16 adalah banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian S. Selanjutnya Tabel 8.2 akan berubah jika kita memperhatikan urutan anggota. Kondisi ini disajikan pada tabel berikut ini.Tabel 8.3: Himpunan bagian S dengan memperhatikan urutanHimpunan Bagian Beranggota43210Kejadian{p, r, s, t}, {p, r, t, s}, {p, s, r, t}, …{p,r,s},{p,s,r},…{p,r,t}, {p,t,r}, …{p,s,t}, {p,s,t},… {p,r},{r,p} {p,s},{s,p} {p,t},{t,p} {r,s},{s,r}{r,t},{t,r} {s,t},{t,s}{p}, {r}, {s}, {t}∅{r,s,t}, {r,t,s}, …652424641Total44P43P42P41P40P66Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPada kasus memperhatikan urutan anggota, konsep kombinasi yang digunakan pada Tabel 8.2 berubah menjadi konsep permutasi. Analog dengan kombinasi, banyak anggota kejadian munculnya himpunan bagian S beranggota dua (dengan memperhatikan urutan) adalah 42P= 12. Sedangkan 65 merupakan banyak anggota ruang sampel kejadian semua himpunan bagian dengan memperhatikan urutan anggotanya. Tentunya sudah punya gambaran tentang penerapan konsep permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak kejadian muncul pada suatu percobaan.Berikut ini seorang ibu memiliki kesempatan memilih, mari kita selidiki apakah masalah tersebut menggunakan konsep permutasi atau kombinasi.Masalah-8.11Pada suatu tempat penitipan anak berusia 3 – 6 tahun menyediakan makanan dan minimum bergizi yang bervariasi. Bu Sity, karena alasan jam kerja memilih menitipkan anaknya di tempat penitipan ini. Dari semua variasi makanan dan minimum, Bu Sity harus memilih 2 jenis buah dari 4 jenis buah yang disediakan dan memilih 4 makanan dari 6 jenis makanan yang disediakan.Berapa banyak pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity? Diasumsikan setiap anak makan juga harus makan buah.Alternatif PenyelesaianDiketahui:Tersedia 4 jenis buah dan akan dipilih 2 jenis buah.Tersedia 6 jenis makanan dan akan dipilih 4 jenis makanan.Setiap si anak makan harus makan bauh.Ditanya: Banyak pilihan jenis susu dan jenis makanan.Untuk kasus ini, misalnya Bu Sity memilih jenis buah 1 (b1) dan jenis buah 2 (b2) sama saja dengan memilih b2 dan b1. Demikian juga makanan, jika Bu Sity makanan 1 (m1) dan makanan 3 (m3) sama saja dengan memilih m3 dan m1(mengapa?). Dengan demikian kita menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan banyak pilihan yang dimiliki oleh Bu Sity. 67MatematikaKarena setiap makan anak Bu Sity juga harus makan bauh, maka banyak kombinasi pilihan makanan dan minuman dinyatakan sebagai berikut:462461590CC×=×= pilihan.♦ Menurut kamu, apa alasannya mengapa kita menggunakan operasi perkalian? Mengapa bukan operasi penjumlahan? Berikan alasanmu serta berikan contoh yang menggunakan operasi penjumlahan. Contoh 8.7Bu Jein Mumu, seorang guru matematika di Ambon. Suatu ketika dia ingin memberikan tugas kepada siswa yang sangat rajin dan memiliki daya tangkap di atas rata-rata teman satu kelasnya. Dia mempersiapkan 15 soal matematika berbentuk essai. Namun dari 15 soal itu, Bu Mumu hanya meminta si anak mengerjakan 10 soal, tetapi harus mengerjakan soal nomor 7, 12, dan 15. Berapa banyak pilihan yang dimiliki anak itu? Alternatif PenyelesaianSiswa Bu Mumu harus memilih 7 soal lagi dari 12 soal sisa (mengapa) dan untuk mengetahui banyak cara memilih soal tersebut ditentukan dengan menggunakan kombinasi (beri alasannya), yaitu:()()12712!121110987!729127!.7!543217!C×××××===−××××× cara.Contoh 8.8Toko perhiasan yang berlokasi pusat perbelanjaan menerima 5 jenis cincin keluaran terbaru, misalkan C1, C2, C3, C4, dan C5. Tidak lama setelah toko itu buka, 4 wanita berminat mencoba kelima cincin itu. Berapakah banyak cara pemasangan cincin tersebut? Alternatif PenyelesaianUntuk menyelesaikan ini, kita menggunakan aturan kaidah pencahahan. Semua kemungkinan pemasangan cincin dengan keempat wanita tersebut, diilustrasikan sebagai berikut:68Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK W1 C1 C2 C3 C4 C5 W2 C1 C2 C3 C4 C5 W3 C1 C2 C3 C4 C5 W4 C1 C2 C3 C4 C5 10 cara 10 cara Gambar 8.6 Diagram pemasangan cincinDengan menggunakan permutasi pemasangan cincin ditentukan sebagai berikut:()()54115!4!542054!41!PP×=×=×=−− cara. ♦ Jelaskan mengapa perhitungan permutasi di atas menggunakan operasi perkalian!Seandainya setiap dua wanita pertama ingin membeli masing-masing 1 cincin. Banyak pilihan cincin untuk kedua wanita itu dihitung dengan permutasi, yaitu:54115420PP×=×= cara (selidiki dengan menggambarkan skema pencacahan).Dari pembahasan kajian, masalah-masalah, dan contoh-contoh di atas perlu kita tarik kesimpulan penggunaan permutasi atau kombinasi dalam menentukan banyak susunan/cara dalam memilih k unsur dari n unsur yang tersedia. Kesimpulan itu dinyatakan dalam prinsip berikut ini.Prinsip-8.1Misalkan dipilih k unsur dari n unsur (secara acak) yang tersedia, dengan n ≥ k,i. Jika ada urutan dalam pemilihan k unsur, maka menentukan banyak cara pemilihan ditentukan dengan nkP.ii. Jika tidak urutan dalam pemilihan k unsur, maka menentukan banyak cara pemilihan ditentukan dengan nkC. 69MatematikaContoh 8.9Dalam sebuah kantong berisi 8 manik putih dan 5 manik merah. Dari kantong itu diambil 6 buah manik. Berapa banyak pilihan untuk mengambil manik-manik itu, jika 6 buah manik itu terdiri atas:a) 5 manik putih dan 1 manik merah?b) 4 manik merah dan 2 manik putih?Alternatif PenyelesaianObjek yang akan diambil dari kantong adalah objek yang tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian, menentukan banyak pilihan menggunakan konsep kombinasi, yaitu:a) 85518!5!2803!.5!4!.1!CC×=×= cara.b) 85428!5!7004!.4!2!.3!CC×=×= cara.2.2 Peluang Kejadian Majemuk Masih ingatkah kamu konsep peluang yang telah kamu pelajari pada kelas X SMA? Definisi 12.3 pada buku matematika kelas X menyatakan:()()()nEPEnS=Pada kelas X, kamu sudah mempelajari bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk kejadian tunggal. Pada Sub bab 2.1 di atas, kita sudah mengkaji bagaimana menentukan n(E) dan n(S) untuk suatu kejadian majemuk. Sekarang kita akan mempelajari menentukan peluang suatu kejadian dengan kejadian yang dimaksud adalah kejadian majemuk.70Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMari kita mulai sub bab ini, dengan memecahkan masalah berikut ini.Masalah-8.12Dalam sebuah kolam kecil terdapat sebanyak 10 ikan lele dan sebanyak 5 ikan gurame. Dengan menggunakan jaring tangan, akan diambil 12 ikan secara acak. Hitunglah nilai peluangnya jika yang terambil itu adalah:a) 10 ikan lele dan 2 ikan gurame,b) 9 ikan lele dan 3 ikan gurame,c) 7 ikan lele dan 5 ikan gurame.Alternatif PenyelesaianJelas untuk kasus ini, banyak cara memilih 12 ikan dari 15 ikan yang ada dihitung dengan menggunakan kombinasi, yaitu: ()151215!15141312!4553!.12!321.12!C×××===×× cara.Artinya banyak anggota ruang sampel memilih 12 ikan dari 15 ikan adalah 455. a) Banyak cara memilih 10 ikan lele dari 10 ikan lele dan memilih 2 ikan gurame dari 5 ikan gurame, dihitung menggunakan konsep kombinasi, yaitu: 105102CC×= 1 × 10 = 10 cara. Artinya banyak kejadian terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah 10 cara. Jadi, peluang terambilnya 10 ikan lele dan 2 ikan gurame adalah: ()()()nEPEnS= ⇔ 10245591=♦ Bagian b) dan c) kerjakan sebagai latihanmu. 71MatematikaUji Kompetensi 8.21. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah: a) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut. b) Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama. c) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya. d) Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling sedikit terambil 2.2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda. Tentukanlah:a) Banyak bilangan yang dapat dibentuk.b) Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000.c) Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima.d) Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750.e) Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari angka di posisi satuan.3. Tentukan banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:a) ATURANb) INDONESIAc) KURIKULUMd) STATISTIKA4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata PERMUTASI dengan selalu mengandung unsur kata TAMU.5. Sepuluh buku yaitu: 6 buku IPA, 2 buku IPS, dan 2 buku Bahasa akan disusun di atas meja. Tentukanlah:a) Banyak susunan jika disusun berjajar.b) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.c) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPA selalu berada di pinggir.72Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd) Banyak susunan jika disusun secara siklis.e) Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.6. Bayu pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 5 pintu masuk/keluar maka tentukan banyak cara Bayu memilih masuk ke stadion dengan dan keluar melalui pintu yang berbeda.7. Dua orang pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 6 pintu masuk/keluar maka:a. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda.b. Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk.8. Didalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang sama dan berbeda warna, yaitu 6 bola berwarna Merah, 4 bola berwarna Biru, dan 2 berwarna hijau. Jika, seorang anak mengambil 3 bola secara acak maka tentukan:a. Peluang pengambilan ketiga bola tersebutb. Peluang terambil 2 bola berwarna merahc. Peluang terambil ketiga bola berbeda warnad. Peluang terambil banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya.e. Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau.9. Di dalam kandang terdapat 40 ekor ayam, yaitu 18 ekor ayam jantan, 6 diantaranya berbulu tidak hitam dan 21 ekor ayam berwarna hitam. Ibu memilih 2 ekor ayam untuk dipotong, maka tentukanlah peluang bahwa ayam yang terpilih untuk dipotong adalah ayam betina berbulu tidak hitam.10. Siti menyusun bilangan ratusan dari angka 0, 1, 2, 3, dan 5. Siti menuliskan setiap bilangan di kertas dan menggulungnya dan mengumpulkannya di dalam sebuak kotak. Siti meminta Udin mengambil sebuah gulungan secara acak. Tentukanlah:a. Peluang yang terambil adalah bilangan 123.b. Peluang yang terambil adalah bilangan ganjilc. Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah bilangan prima.d. Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321Next >