< Previous MATRIKS Sumber: yginsaf.files.wordpress.com 3 80 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiStandar kompetensi konsep matriks terdiri atas tiga kompetensi dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan latihan. Rangkuman diletakkan pada setiap akhir bahasan suatu kompetensi dasar. Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah macam-macam matriks, operasi matriks dan determinan serta invers. Standar kompetensi ini digunakan untuk melengkapi dalam menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan juga untuk merumuskan berbagai masalah pada kehidupan sehari-hari dalam rangka menunjang program keahlian Penjualan dan Akuntansi Sumber: yginsaf.files.wordpress.com Agar data lebih sederhana lagi sehingga proses pengolahan data lebih mudah, tabel juga sering disajikan dalam bentuk matriks. Dalam proses penyelesaian masalah dalam pelajaran lain atau dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapkan pada pencarian nilai beberapa peubah. Matriks adalah salah satu media bantu untuk memecahkan masalah-masalah tersebut. Misalkan matriks dapat memudahkan dalam membuat analisis masalah ekonomi yang memuat bermacam-macam peubah. Matriks juga dapat digunakan untuk mempermudah analisis input-output baik dalam bidang ekonomi, manajemen, kependidikan dan bidang lainnya. Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soal-soal yang mudah hingga sulit. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan, baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru. Gambar di samping merupakan kegiatan perbankan sehari-hari. Para nasabah sering menemukan suatu data yang disajikan dalam bentuk daftar, misalkan daftar bunga, daftar konversi mata uang dan daftar-daftar yang lain. Mengapa data itu sering harus dibuat tabel? Tabel dibuat dengan tujuan agar data mudah dibaca dan dimengerti. www. yginsaf.files.wordpress.com Gambar 3-1 Kegiatan perbankan sehari-hari81BAB III Matriks A. Macam-macam Matriks Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks, ¾membedakan jenis-jenis matriks, ¾menjelaskan kesamaan matriks, dan ¾menjelaskan transpose matriks. 1. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks Dalam kehidupan sehari-hari, matematika, maupun dalam mata pelajaran lain, keterangan-keterangan sering kali disajikan dalam bentuk matriks. Contoh 1 Berikut merupakan contoh keadaan absensi kelas X pada tanggal 22 Januari 2007 “SMK Unggul” di Jakarta. KEADAAN ABSENSI KELAS X TANGGAL 22 JANUARI 2007 Kelas Sakit (s) Izin (i) Alpha (a) Kelas X AK1 Kelas X AK2 Kelas X AP1 Kelas X AP2 1 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 3 Jumlah 1 3 6 Apabila pembatas tersebut dihilangkan, maka akan didapatkan susunan elemen-elemen sebagai berikut. ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛631310020100201 Susunan elemen-elemen tersebut biasa disebut dengan matriks. a. Pengertian Matriks Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya, jika berupa huruf, maka ditulis dengan huruf kecil. 82 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi nkekolom2kekolom1kekolom mkebaris2kebaris1kebarisaaaaaaaaaaaaAmn3m2m1mn2232212n1312111−↓−↓−↓−→−→−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛= Dalam matriks A = [ aij ], dengan i dan j merupakan bilangan bulat yang menunjukkan baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya a12 artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-2. Contoh 2 046310173511383425402P⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−= Dari matriks P di atas dapat dinyatakan bahwa a.banyaknya baris adalah 4; b.banyaknya kolom adalah 5; c.elemen-elemen baris ke-3 adalah 0, -5, 3, -7, -1; d.elemen-elemen baris ke-4 adalah -10, 3, -6, 4, 0; e.elemen-elemen kolom ke-1 adalah 2, -4, 1, -10; f.elemen-elemen kolom ke-4 adalah 5, -3, -7, 4; g.elemen baris ke-2 dan kolom ke-3 atau a23 adalah 8; h.elemen baris ke-3 dan kolom ke-5 atau a35 adalah -1. b. Ordo Matriks Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom. Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom. Contoh 3 Tentukan ordo dari matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=20138412A b. ()051B−= Jawab: a.Matriks A terdiri atas 2 baris dan 4 kolom, maka matriks A berordo 2 x 4, atau ditulis A2x4. b.Matriks B terdiri atas 1 baris dan 3 kolom, maka matriks B berordo 1 x 3, atau ditulis H1x3. 83BAB III Matriks ()000B=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0000A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412H()32M=()10437N−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5234C⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=064712536D⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1002C⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300010000D⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3051S⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=800570492Bc. Jenis-Jenis Matriks 1) Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya nol. Contoh 4 2) Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom. Contoh 5 3) Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. Contoh 6 4) Matriks Persegi atau Bujur Sangkar Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh 7 5) Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nol. Contoh 8 6) Matriks Segitiga Matriks segitiga terdiri atas dua macam, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama seluruhnya nol. Contoh 9 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=93P84 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3401S⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=955071002B⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=6231A⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=62332B⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1326CMatriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utama seluruhnya nol. Contoh 10 7) Matriks Identitas Matriks identitas merupakan matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya satu dan elemen lainnya adalah nol. Contoh 11 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1001I2x2 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010001I3x32. Transpose Matriks Transpose matriks A = (aij) dengan ordo m x n ditulis AT = (aji) dan mempunyai ordo n x m. Elemen-elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya. Contoh 12 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=635241A maka ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=654321AT 3. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama. Contoh 13 Matriks A=B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut sama. Sedangkan A C, walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak. Contoh 14 Tentukan nilai x, y, z, a, b, dan c dari kesamaan dua matriks di bawah ini. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−+=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−++12b5a4z4y3y5x21c21b41azx254 85BAB III Matriks Jawab: Elemen baris 1 kolom 1 (a11), 2x = 4 x = 2 Elemen baris 1 kolom 3 (a13), 2 + x = y y = 2 + 2 = 4 Elemen baris 2 kolom 1 (a21), z = 3y z = 3.4 = 12 Elemen baris 2 kolom 2 (a22), a + 1 = 4z a + 1 = 4.12 ⇔ a = 48 – 1 = 47 Elemen baris 3 kolom 1 (a31), b = a + 5 b = 47 + 5 ⇔ b = 52 Elemen baris 3 kolom 2 (a32), 21c = b – 2 21 c = 52-2 ⇔ 21c = 50 ⇔ c = 100 Jadi, nilai x = 2, y = 4, z = 12, a = 47, b = 52, dan c = 100 Contoh 15 Tentukan x, y, dan z jika A = B dari matriks-matriks di bawah ini. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=y2x611xA dan B =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−y52z412x2 Jawab: A = B ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++y52z412x2y2x611x x + 1 = 2x – 2 4z + 2 = 6 x + 2y = 5y x – 2x = -1 – 2 4z = 6 – 2 3 + 2y = 5y -x = -3 4z = 4 3 = 5y – 2y x = 3 z = 1 3 = 3y y = 1 B. Rangkuman Macam-Macam Matriks 1. Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom. 2. Suatu matriks A yang memiliki m baris dan n kolom berarti matriks A berordo m x n 3. Transpose matriks A dengan ordo m x n ditulis AT dan mempunyai ordo n x m. Elemen-elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya. 4. Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama. 86 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi 1. Diberikan suatu matriks ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=1356124682410034137651Ma.Berapakah banyaknya baris? b.Berapakah Banyaknya kolom? c.Tuliskan elemen-elemen baris ke-2. d.Tuliskan elemen-elemen baris ke-4. e.Tuliskan elemen-elemen kolom ke-3. f.Tuliskan elemen-elemen kolom ke-1. g.Sebutkan elemen baris ke-2 kolom ke-3. h.Sebutkan elemen baris ke-4 kolom ke-5. i.Nyatakan nama untuk elemen-elemen -3, 10, 4, 13. j.Nyatakan nama untuk elemen-elemen 1, 4, -3, 0, 10. k.Nyatakan nama untuk elemen 13. l.Nyatakan nama untuk elemen -8. 2. Buatlah matriks sembarang yang mempunyai ketentuan sebagai berikut. a. Mempunyai satu baris dan tiga kolom. b. Mempunyai tiga baris dan dua kolom. c. Mempunyai empat baris dan satu kolom. 3. Tuliskan ordo dari matriks-matriks berikut. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=02610A c. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=48016412A b. ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=4592A d. ()412A−= 4. Tentukan transpose dari matriks-matriks pada soal nomor 3 di atas. 5. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan-persamaan matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+391yx3 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−17yxyx2 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−4x62y2x2 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++03x1020y2yz61x87BAB III Matriks e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−8x54y41x2 f. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++303xy2x3305y2yz63x2 6. Tentukanlah nilai x, y, z, a, dan b dari persamaan matriks di bawah ini. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+3z2286x51y4 = ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−3b282z2a35xy2 7. Jika A = BT dimana ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=110001110Adan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+−+=10w2y3z0yx01yxB Tentukanlah w, x, y, dan z. C. Operasi pada Matriks Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat ¾menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks; ¾menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. Contoh 16 Diketahui: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=161245A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=346552B dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=8210C A + B = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−++−−+−+−+4105793)3(14661)5(254)2(5 A – B = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−−427317314661)5(254)2(5 A + C tidak dapat dijumlahkan, karena ordo kedua matriks tersebut tidak sama. Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut: a.A + (B + C) = (A + B) + C sifat asosiatif, b.A + B = B + A sifat komutatif, c.A(B + C) = AB + AC sifat distributif, 88 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansid.A(B – C) = AB – AC, e.A + 0 = 0 + A = A, f.terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B. 2. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Skalar (k) Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k. Contoh 17Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=6042A maka 4A = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅⋅⋅−⋅240168)6(40444)2(4 -2A =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−⋅−⋅−−⋅−12084)6(20242)2(2 4A + 3A = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−42028141801262401686042360424 Contoh 18Tentukan a, b, dan c jika diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0132P, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4b2caQ, dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=8312R sehingga berlaku P – 2Q = R. Jawab: P – 2Q = R ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0132 – 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−4b2ca = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−8312 -2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−4b2ca = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−8312 –⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0132=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−8240 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−4b2ca= ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−824021=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−4120 dari persamaan matriks tersebut didapat a = 0 b = 1 c – 2 = 2 ⇔ c = 4 Contoh 19Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. a. 4X –⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6221 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−22147 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛1502 + 21X = 2⎟⎠⎞⎜⎝⎛4013 Next >