< Previous89BAB III Matriks Jawab: a. 4X –⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6221 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−22147 4X = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−22147 +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6221 4X = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−80128 X = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−20328012841 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛1502 + 21X = 2⎟⎠⎞⎜⎝⎛4013 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛1502 + 21X = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛8026 21X = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛8026 –⎟⎠⎞⎜⎝⎛1502 21X = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−7504 X = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−141008 Untuk setiap skalar k1 dan k2, dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan AB terdefinisi, berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar sebagai berikut: a.(k1 + k2) A = k1 A + k2 A b.(k1 – k2) A = k1 A – k2 A c.(k1 k2) A = k1(k2 A) d.k1(A B) = (k1 A) B e.k1(A + B) = k1 A + k1 B f.k1(A – B) = k1 A – k1 B b. Perkalian Matriks dengan Matriks Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = ⋅AB yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B. Jika matriks A berordo m x n dan B berordo p x q dimana n ≠ p maka ⋅AB tak terdefinisi. Perhatikan ilustrasi kartu domino pada Gambar 3-2 untuk perkalian dua mariks yang berordo masing-masing 2 x 4 dan 4 x 1. 90 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiSyarat dua matriksDapat dikalikan⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅2410135312BA 2 x 4 4 x 1 Hasil kali kedua matriks dengan ordo 2 x 1 Contoh 20 Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5312A dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=241013B , tentukan ⋅AB Jawab: Matriks A berordo 2 x 2 dan B berordo 2 x 3, hasil kali ⋅AB adalah matriks yang berordo 2 x 3. Perhatikan ilustrasi di bawah ini. = -641)1(2=⋅+−⋅adalah entri baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks A yang diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri (matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B) kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya untuk mengisi kotak-kotak tersebut. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+⋅⋅+−⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=101714265 2503451315332102411211322410135312B.A Contoh 21 Diketahui matriks,3012A⎟⎠⎞⎜⎝⎛= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=6021B dan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=613C Tentukan a. ⋅AB b. AB⋅ c. ⋅AC d. Apakah ⋅AB = AB⋅. Jawab: a. ⋅AB = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛632003106122011260213012 =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−180102 b. AB⋅ = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−361006203211022130126021 =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−18052 Gambar 3-2 Contoh perkalian matriks 91BAB III Matriks c. ⋅AC = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛3012⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛613 = Tidak dapat diselesaikan karena kolom matriks pertama (sebelah kiri) dengan banyaknya baris matriks kedua (sebelah kanan) tidak sama. d. Dari hasil penyelesaian a dan b di atas, ternyata ⋅AB ≠ AB⋅. Jadi, perkalian tidak komutatif. Contoh 22 Tentukan hasil kali dari matriks-matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−520132 b. ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−413226 c. ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−563521 Jawab: a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+−⋅−⋅+−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−21950)2(153)2(2520132 b. ()()()26144)2()3(6)1()2(26413226−=⋅−+−⋅−⋅−+⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−− c. ()()()34)25123()5(56231563521−=−−=−⋅+⋅−+⋅=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−− Contoh 23 Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter minyak goreng dengan harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang sama di toko yang sama dengan kuantitas 10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan Ibu Susan. Jawab: Persoalan di atas jika disajikan dalam bentuk Matriks adalah sebagai berikut ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000.9000.7000.62810345SA Keterangan A = Ibu Ahmad dan S = Ibu Susan Jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad dan Ibu Susan adalah: Gambar 3-3Toko kehidupan sehari-hariwww.jakarta.go.id 92 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000.9000.7000.62810345SA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000.134000.85000.9x2000.7x8000.6x10000.9x3000.7x4000.6x5SAJadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Ahmad adalah Rp85.000,00 dan Ibu Susan adalah Rp134.000,00. D. Rangkuman Operasi pada Matriks 1. Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah (selisih) didapat dengan cara menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut. 2. Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k. 3.Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua. 4.Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = ⋅AB yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B. 1.Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=6132P , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2852Q dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2415R Tentukanlah a. P + R d. RT + Q g. QT – P b. (Q + P) + R e. P – (Q + R) h. (P + Q) + (P + R) c. (Q + R – P)T f. PT – R i. P – Q – RT 2.Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini. a.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−15245231 d. ()()10748−+− b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−40124255 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛13413547260133 c.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛9675 f. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛68274251470142 93BAB III Matriks 3. Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=5412P, tentukanlah a.2P c. 21P e. -2P + 8P b.-4P d. 5P – 3P f. P – 5P 4. Tentukan hasil kali dari kedua matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−344213 c. ()4052.412−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛− e. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−523019.1018425621732 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−5210.1529 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−4360.12 f. ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−2101.812 5. Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5112A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4043B dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2234C Tentukanlah matriks-matriks berikut. a. A B d. A B g. A2 b. A (CT + B) e. (AT – C) B h. A2 + C2 c. (A + B)(A – B) f. A BT i. A2 – B2 + C2 6. Tentukan matriks X dari a.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+712135435X4 c. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−+220462764428502340X2 b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−61042X28420 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−41224262313X5 7.Diberikan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=213302111A, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=412031B dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=11024321C, tunjukkanlah bahwa (BA⋅))CB(AC⋅⋅=⋅. 8.Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=242021A dan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=412134B, tentukanlah! a.BA⋅ c. AB⋅ e. TTBA⋅ b.(AB⋅)T d. TTAB⋅ f. (BA⋅)T 9.Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4231A, carilah f(A) = 2A2 – 4A + 5I (I matriks identitas) 94 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi10.Diketahui ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=012123111A dan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=212111120141B. Periksalah apakah BA⋅= 0 11.Carilah a, b, c, dan d dari persamaan-persamaan berikut. a.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++543023122d23c1b23a b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+786024135abd2a4c2b23a2 12. Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−22117144z14yx453016, tentukanlah nilai x, y, dan z. 13. Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2123A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=6571B, dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=86100C. Tentukanlah ! a. 2A + 3B c. 4( A + BT + C) e. AB + BC – (AC)T b. 3A – 6B d. 5A – B + 3C f. B(A + 3C)T 14. Tentukan nilai a, b, c dan d dari persamaan berikut ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛69130512dbca b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−8682b2bb52c3a21406 15. Budi membeli di toko alat-alat tulis, 8 buku dengan harga @Rp4.500,00, 12 pensil dengan harga @Rp2.250,00, dan 5 pulpen dengan harga @Rp5.000,00. Ani membeli barang yang sama di toko yang sama dengan kuantitas 12 buku, 8 pensil dan 2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Budi dan Ani. 16. Perusahaan bus mengatur suatu rute perjalanan busnya dari kota P ke kota T melalui kota Q atau R atau S. Dari kota P ke Q, R dan S berturut-turut terdapat 2 rute, 5 rute dan 3 rute sedangkan dari Q, R, dan S ke T berturut-turut terdapat 1 rute, 6 rute dan 4 rute. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dan tentukan jumlah rute yang dapat ditempuh dari kota P ke T. Gambar 3-4 Bus Dokumentasi penulis 95BAB III Matriks E. Determinan dan Invers Matriks Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾menentukan determinan dan invers matriks ordo 2, ¾menentukan minor, kofaktor dan adjoin matriks, ¾menentukan determinan dan invers matriks ordo 3, dan ¾menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks. 1. Determinan Matriks Ordo Dua Misal ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA, maka determinan A ( det(A) ) adalah det(A) =bcaddcba−= Contoh 24 Tentukan determinan matriks-matriks berikut. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3425P dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4623Q Jawab: 7)2()4(353425|P|=−⋅−−⋅=−−= dan 012122)6(434623|Q|=+−=⋅−−⋅−=−−= Contoh 25Jika 3x2152x3−=− , tentukanlah harga x yang memenuhi persamaan tersebut. Jawab: 3x2152x3−=− 3x – (-10) = 2x – 3 3x + 10 = 2x – 3 3x – 2x = -3 – 10 x = -13 2. Determinan Matriks Ordo Tiga Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga diberikan di bawah ini ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211aaaaaaaaaA, determinan dari matriks A adalah det(A) = | A |=333231232221131211aaaaaaaaa96 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiBanyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sarrus. Dengan langkah-langkah sebagai berikut. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping. Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini. – – – 323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa)Adet(= + + + = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)Contoh 26 Tentukan determinan dari matriks ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=041450321M Jawab: | M | = 415021041450321−−−− =)200)1()4(4)3(51()40)3(1)4(2051(⋅⋅+−⋅−⋅+−⋅⋅−⋅⋅−+⋅−⋅+⋅⋅− = (0 – 8 + 0) – (-15 + 16 + 0) = -8 – 1 = -9 Contoh 27Determinan matriks ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=52x3421311xQ adalah 5, tentukan nilai x Jawab: | Q | = (x – 1)52⋅⋅ +⋅−⋅)4(13x +2)1(3⋅−⋅–32x3⋅⋅– ⋅−⋅)4(2(x – 1) – 1)1(5⋅−⋅ = (x – 1)10 – 12x – 6 – 18x + 8(x – 1) + 5 = 10x – 10 – 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5 = -12x – 19 | Q | = 5 -12x – 19 = 5 -12x = 5 + 19 -12x = 24 ⇔ x = -2 97BAB III Matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2154CCCC22211211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=25142154)A(AdjT3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dinamakan kofaktor entri aij. Jika A adalah sembarang matriks persegi (n x n) dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks CCCCCCCCCCCCnn3n2n1nn2232212n1312111⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj (A). Contoh 28 Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=4512A Jawab: Minor dari matriks A adalah M11= 4 M21 = 1 M12 = 5 M22 = -2 Kofaktor dari matriks A adalah C11 = (-1)1+1 M11= (1) 4 = 4 C21 = (-1)2+1 M21 = (-1) 1 = -1 C12 = (-1)1+2 M12= (-1) 5 = -5 C22 = (-1)2+2 M22 = (1)(-2) = -2 Matriks kofaktornya adalah Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga Contoh 29Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=324141502A Jawab: Minor dari matriks tersebut adalah: M11 = 3214−− = 43⋅ – (-2⋅)(-1) = 10 M23 = 2402−− = -2(⋅-2) – 40⋅= 4 98 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiM12 = 3411− = 13⋅– ⋅4(-1) = 7 M31 = 1450− =⋅0(-1) – 45⋅ = -20 M13 = 2441− = ⋅1(-2) –⋅44 = -18 M32 = 1152−− = -⋅2(-1) – 15⋅= -3 M21 = 3250− = ⋅03 – (-2)5⋅ = 10 M33 = 4102− = -24⋅– 10⋅= -8 M22 = 3452− = -23⋅– 45⋅= -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah C11 = (-1)1+1 M11= (1)10⋅ = 10 C23 = (-1)2+3 M23= (-1⋅)4 = -4 C12 = (-1)1+2 M12= (-1)7⋅ = -7 C31 = (-1)3+1 M31= (1⋅)(-20) = -20 C13 = (-1)1+3 M13= (1⋅)(-18) = -18 C32 = (-1)3+2 M32= (-1⋅)(-3) = 3 C21 = (-1)2+1 M21= (-1)10⋅ = -10 C33 = (-1)3+3 M33= (1⋅)(-8) = -8 C22 = (-1)2+2 M22= (1⋅)(-26) = -26 Matriks kofaktornya adalah ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛83024261018710CCCCCCCCC333231232221131211Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=8481326702011083024260118710)A(AdjT 4. Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A -1 atau A = B -1. Contoh 30 Dari ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=5374P dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4375Q, tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers. Jawab: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⋅1001202115152828212043755374QP dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⋅1001202112123535212053744375PQ Karena PQ = QP = I , maka P =Q –1 dan Q = P –1 . Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah: )A(adj)Adet(1A1=− Next >