< Previous99BAB III Matriks Contoh 31Tentukan invers dari ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA Jawab: Determinan A (det(A)) adalah det (A) = bcaddcba−= Minor dari A adalah M11 = | d | = d M21 = | b | = b M12 = | c | = c M22 = | a | = a Kofaktor dari A adalah C11 = (-1)1+1 M11 = d C21 = (-1)2+1 M21 = -b C12 = (-1)1+2 M12 = -c C22 = (-1)2+2 M22 = a Matriks kofaktor ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−abcd sedangkan matriks adjoin adj (A) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−acbdabcdT Invers matriks A adalah ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−==−acbdbcad1)A(adj)A(det1A1 Contoh 32Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari: a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=4274A b. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=324141502A Jawab: a. Det(A) = -44⋅– (-2)7⋅ = -16 + 14 = -2 sehingga: ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−==−212132427421AAdjoin.)Adet(11A b. Det(A) = (-234⋅⋅+ 4)1(0⋅−⋅+ ⋅⋅15(-2)) – (544⋅⋅+ (-2⋅)(-1⋅)(-2) +013⋅⋅) = (-24 – 0 – 10) – (80 – 4 + 0) = -34 – 76 = -110 )A(Adjoin)Adet(11A⋅=− (dari Contoh 29 diperoleh Adj (A)) 11011A−=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−84813267020110 100 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiCatatan •Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular, sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebutmatriks singular . •Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat (A–1)–1 = A (A x B)–1 = B–1 x A–1 Contoh 33 Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks nonsingular a. A = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛6342 b. B = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−54210 Jawab: a.det (A) = ⋅26 – ⋅34 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular b. det (B) = ⋅4(-5) – (-2⋅)(-10) = -20 – 20 = -40, karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks nonsingular Contoh 34 Diketahui matriks A = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛7352 dan B = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛16531, tentukan matriks dari: a. (AB)–1 b. B–1A⋅–1 Jawab: a.AB = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛7352⎟⎠⎞⎜⎝⎛16531 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++1129353806252 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛121388627 (AB)–1 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−27388612127388612186x38121x271 b.A–1 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−235723575x37x21 B–1 = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−15316153165x316x11 B–1 .A–1 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−15316⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2357 =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++−−2253356809112 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−273886121 Ternyata, dari jawaban a dan b pada contoh soal di atas, diperoleh kesimpulan (A x B) –1 = B –1 x A –1 101BAB III Matriks 1. Hitunglah determinan matriks berikut. a. 2321− c. 2043− e. 6715− b. 6293−− d. 5,2524−− f. 3140− 2. Tentukan determinan dari matriks ordo 3 di bawah ini. a. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−134120011 c. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−204050121 e. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−115101022 b. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−102261422 d. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−432142212 f. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−024421321 3. Tentukan nilai x dari persamaan di bawah ini. a. 04x23= c. x7453x2=−− e. x341x242x1−=+−− b. 05001122xx2=− d. 2x1001102xx2+= f. 5x25041122x1x+=−− 4. Tunjukkan bahwa matriks-matriks di bawah ini saling invers. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛3253dan3253 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4131dan1134 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−3479dan9473 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6554dan4556 5. Carilah minor, matriks kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2043 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6431 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6745 6. Carilah minor, kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks pada soal nomor 2. 7. Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1121Qdan2132P, tentukan a. P –1 e. (⋅PQ) –1 b. Q–1 f. (⋅QP) –1 c. P–1 Q–1 g. Apakah (⋅PQ) –1 = Q–1 P–1 d. Q–1 P–1 h. Apakah (⋅QP) –1 = P–1 Q–1 102 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi8. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−5332 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6233 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2121 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−xcos5,02xsin22 5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier dua atau tiga variabel selain dengan menggunakan eliminasi dan substitusi dapat juga digunakan invers dan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaiannya. Beberapa langkah yang perlu diperhatikan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan invers, adalah sebagai berikut. Tulislah sistem persamaan dalam bentuk matriks. Nyatakan bentuk tersebut ke dalam perkalian matriks koefisien dengan matriks variabelnya. a11x + a12y = c1 a21x + a22y = c2 ,,CccXyxAaaaa2122211211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ persamaan matriks berbentuk ⋅AX = C Kalikan kedua ruas dengan invers A atau A–1, sehingga menjadi A–1 A X = A–1C I X = A–1C X = A–1C Untuk persamaan yang berbentuk XA⋅ = C, maka untuk mendapatkan X, kalikan kedua ruas dengan A-1 dari sebelah kanan, sehingga didapat X⋅⋅AA –1 = C A–1 X I = C A–1 X = C A–1 Contoh 35 Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan 4x – 5y = -2 -3x + 4y = 4 Jawab: Sistem persamaan ⎩⎨⎧=+−−=−4y4x32y5x4 jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−42yx4354 perkalian matriks tersebut berbentuk ⋅AX = C dengan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=42C dan yx X4354A 103BAB III Matriks 4354 4354 114354)5()3(441A1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−−⋅=− ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1012166028 424354yx Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(12, 10)}. Di samping menggunakan cara invers dapat juga penyelesaian sistem persamaan linier dicari dengan menggunakan kaidah Cramer. Jika ⋅AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalah )A(det)A(detx,.)A(det)A(detx,)A(det)A(detxnn2211=== dimana Aj adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=21ccC Contoh 36Gunakan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini. 3x – 5y = 11 2x + y = 3 Jawab: Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−311yx1253, dari bentuk ini didapat. 13)5(2131253)A(detdan1253A=−⋅−⋅=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−= 261511)5(311113511)A(detdan13511A11=+=−⋅−⋅=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−= 131123332113)A(detdan32113A22−=⋅−⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= sehingga 11313)A(det)A(detydan21326)A(det)A(detx21−=−===== Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah {(2, -1)} 104 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiContoh 37Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan menggunakan kaidah Cramer. x + 2z = 7 -3x + 4y + 6z = 7 -x – 2y + 3z = 12 Jawab: Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−1277zyx321643201, dari bentuk ini didapat 44012812012240131321643201)A(det,321643201A=−++++=−−−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−= 44084962808424012773212647207)A(det,3212647207A11=−+−−+=−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−= 8863721472422112771313121673271)A(det,3121673271A22−=+−+−−=−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−= 13201428420482401311221743701)A(det,1221743701A33=−++++=−−−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−= Dengan demikian, 344132)A(det)A(detzdan24488)A(det)A(dety,14444)A(det)A(detx321===−=−===== Contoh 38 Tentukanlah matriks P dari persamaan matriks di bawah ini: a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2104P5332 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅5320111312P Jawab: a. Dari ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2104P5332 diperoleh persamaan: ⋅AP = B, sehingga P = A–1 B⋅ P = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+−210423359101 P = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+−−4106174021260320b. Dari ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅5320111312P diperoleh persamaan matriks PA⋅ = B, sehingga P = ⋅BA–1 105BAB III Matriks Dari persamaan P = ⋅BA–1, diperoleh banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan banyaknya baris matriks A–1. Dengan demikian ⋅BA–1 tidak dapat diselesaikan. Oleh karena itu, tidak ada matriks P dari persamaan matriks di atas. Contoh 39 Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos yang sama adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos. Jawab: Persoalan di atas diterjemahkan dalam bentuk model matematika dengan memisalkan harga tiap baju x dan harga tiap kaos y, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut. 3x + 2y = 280.000 x + 3y = 210.000 Sistem persamaan ⎩⎨⎧=+=+000.210y3x000.280y2x3 jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000.210000.280yx3123 perkalian matriks tersebut berbentuk ⋅AX = C dengan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000.210000.280C dan yx X3123A 3123 71312321331A1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−⋅=− ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000.50000.60000.350000.42071000.210x3000.280x1210.000x(-2)280.000x371 210.000280.000312371yx Harga 6 baju dan 5 kaos =()()000.50x5000.60x6000.50000.6056+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ = ( 550.000 ) Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp550.000,00. F. Rangkuman Determinan dan Invers Matriks 1. Jika ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=dcbaA maka det(A) =bcaddcba−= 2.Jika ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211aaaaaaaaaA, maka 106 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi – – – 323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa)Adet(= + + + = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12 3.Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Sedangkan Cij = (-1)i+j Mij dinamakan kofaktor. Transpose matriks kofaktor A disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj (A). 4. Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil kali AABB⋅=⋅= I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A –1 atau A = B –1 . 5. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah )A(adj)Adet(1A1=− 6. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular, sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebutmatriks singular . 7. Pada invers matriks berlaku •(A–1)–1 = A •(A x B)–1 = B–1 x A–1 •Jika AB⋅ = I, maka B = A– 1 •Jika ⋅AX = B maka X = A– 1 B⋅ •Jika XA⋅= B maka X = B 1A−⋅ 8. Jika AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalah )A(det)A(detx,.)A(det)A(detx,)A(det)A(detxnn2211=== dimana Aj adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks C. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers 1. 3x + 8y = -7 4. y = 8 – 2x x – 4y = 11 5x – 3y = 31 107BAB III Matriks 2. x – 2y = -12 5x + 4y = 10 5. y = -3x – 11 y = 0,5x + 3 3. 4x + y = -19 -2x + y = 11 Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 6. x – 4y = 8 9. x – 3y + z = 10 2x + y = -2 2x – y = 4 4x – 3z = -5 7. 3x + y = 8 2x + 2y = 4 10 . x + y – z = -1 x – y + z = 4 8. x + 3y = -11 x – y – z = 1 2x – 6y = 14 11. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−17X3412 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅74231156X b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1654X2312 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛532041X2312 c. ()2432160X−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅ f. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−103121X191372 12. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini. a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−7251y2x2543 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−10202y4x22134 13. Seorang pedagang menjual dua jenis komoditas campuran. Komoditas jenis pertama merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B, sedangkan komoditas jenis kedua merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan 50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama Rp100.000,00 dan jenis kedua Rp170.000,00. a. Bentuklah matriks dari pernyataan tersebut. b. Selesaikanlah perkalian matriks untuk mendapatkan harga masing-masing kualitas per kilogram. 14. Lima meja dan delapan kursi berharga $115, sedangkan tiga meja dan lima kursi berharga $70. Tentukan harga 6 meja dan 10 kursi. 108 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi A. Soal Pilihan Ganda Pilihlah satu jawaban a, b, c, d atau e yang dianggap benar 1. Diketahui matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=241312A dan matriks ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=232131B maka ⋅AB = . . . . a.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−15326 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−7236 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛63215 b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−7326 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛63215 2. Diketahui matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1243A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=5123B dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1245C maka 2A – B + 2C = . . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−6169 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−61624 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−51219 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−61624 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−66615 3. Diketahui matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=1132A dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=51050B dan XA⋅ = B. Matriks X adalah . . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1426 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−8121 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−3426 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−4321 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−520106 4. Jika ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2253A dan AB⋅ = I, dengan I matriks satuan , maka B =. . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3522 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−3252 e.⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−245121 b. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−43214521 d.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−43454521 5. Jika diketahui matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=024312A dan ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=212311B maka matriks AB⋅adalah . . . . Next >