< Previous109BAB III Matriks a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0622 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0264 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−044332 b. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−212311 d. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−034342 6.Nilai I1 dan I2 pada persamaan matriks ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−413II311221 berturut-turut adalah. . . . a. 3 dan 5 c. 5 dan 3 e. 9 dan 4 b. 23 dan –2 d. 7 dan -1 7.Diketahui ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=245342013A maka det (A) = . . . . a.-2 c. 0 e. 2 b.-1 d. 1 8.Nilai a, b, c, dan d berturut-turut yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛21631312dcba adalah . . . . a.-1, 1, 2 dan 3 c. -1, -1, 2 dan 3 e. -15, -9, 5 dan 3 b.-1, 1, 3 dan 2 d. 1, 3, 9 dan 15 9.Matriks X yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛5953X1321 adalah. . . . a.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2013 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2310 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1023 b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2013 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−2013 10.Diketahui ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2211A dan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2411B, maka (A + B)2 = . . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2032 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2002 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛12040 b. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01204 d. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛81234 11.Diketahui 41231x=−−, nilai x yang memenuhi persamaan adalah . . . . a.-9 c. 0 e. 9 b.-4 d. 5 110 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi12.Diketahui A = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2314 nilai k yang memenuhi ⋅kdet(AT) = det(A-1) adalah . . . . b.-5 c. -251 e. 5 c.-51 d. 251 13.Diketahui A = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛5432 dan B = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1346. Jika AX = BT , maka matriks X adalah . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−10161218 c. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−5869 e. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−5869 b.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−10161218 d.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−586914. Jika 3Q – ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−3512 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛614114 matriks Q adalah . . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛3342 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛99126 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1342 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛3324 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛33816 15. Harga x dan y berturut-turut dari persamaan ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1432⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1yx1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−9511 adalah . . . . a. 2 dan -1 c. 2 dan -31 e. -1 dan 4 b. -1 dan 2 d. -31 dan 2 16. Diketahui A =⎟⎠⎞⎜⎝⎛4213 dan B = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2110, X matriks berordo (2x2) yang memenuhi persamaan matriks 2A – B + X = 0, maka X = . . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−6516 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−6516 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−6516 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1516 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−6516 17. Jika A = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−4231, B = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−3102, dan C = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2113maka A x ( B – C ) =. . . . a. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2010197 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−5121 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−222161 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−61045 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1810145 111BAB III Matriks 18. Diketahui persamaan matriks ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2543 X = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−12910 maka X adalah . . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−3112 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−3412 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1323 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1331 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−37137 19. Jika ⎟⎠⎞⎜⎝⎛3423A⋅ = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2711198 maka | A | = . . . . a. -7 c. 0 e. 7 b. -1 d. 1 20. Diketahui matriks A = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+cbda1; B = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−dc01a; dan C = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−b2102 Jika A + Bt = C dengan Bt adalah transpos dari B maka nilai d =. . . . a.-2 c. 0 e. 2 b.-1 d. 1 21. jika ⎟⎠⎞⎜⎝⎛52=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx1134maka x + y adalah . . . a. -31 c. -5 e. 31 b. -21 d. 5 22. Penyelesaian sistem persamaan ⎩⎨⎧=−=−9y2x34yx2 dapat dinyatakan sebagai . . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2312⎟⎠⎞⎜⎝⎛94 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−942312 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−942113 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−942113 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛yx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−942213 23. Diketahui matriks A =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2321, B =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1qp5dan C = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−01411 nilai p dan q yang memenuhi A + 2B = C Berturut-turut adalah . . . a. –2 dan –1 c. –2 dan 3 e. 3 dan –2 b. –2 dan 1 d. 1 dan 2 24. Diketahui A = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1243, B =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−5123dan C =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1245, 2AT – B + 3C = . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−61186 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−011824 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−6131424 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−61624 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−6131824 112 Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi25. Invers matriks A = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2341 adalah . . . . a. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−2431101 c. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2431101 e. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−2431141 b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1342101 d. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−1342141 A.Soal Essay Kerjakan soal-soal berikut dengan benar. 1. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. a. ()242357X−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− b. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−634023X2425 2. Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. a. 3x – 4y = 60 b. x – 3y + z = -15 y = 4 – 4x 2x – y = -13 4x – 3z = -17 3. Diketahui ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1121Bdan12552A, tentukanlah: a. (AT. B)–1 d. (A + B) –1 b. (B–1) –1 e. (2B – 3A) T c. A–1 BT f. Buktikan (A B) –1 = B-1 A-1 4.Diketahui ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=1201A, carilah f(A) = 3A2 – 2A + 5I ( I adalah matriks identitas) 5.Tentukanlah nilai x, y, z, a dan b dari persamaan matriks di bawah ini: ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−++⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−601121x1123z21741x24y2 = T38582z2x2a3y2⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−− 6. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. a. 0,25X –19241−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− = T3412⎟⎠⎞⎜⎝⎛− b. T1502⎟⎠⎞⎜⎝⎛ – 3X = 212411−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− Ubahlah cara berpikir kalian, maka dunia kalian juga akan berubah Sumber: Art & Gallery PROGRAM LINIER 4 114Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiStandar kompetensi program linier terdiri atas empat kompetensi dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap kompetensi dasar memuat tujuan, uraian materi, dan latihan. Sedangkan rangkuman dipaparkan pada setiap akhir bahasan suatu kompetensi dasar. Kompetensi dasar dalam standar kompetensi ini adalah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier, model matematika dari soal cerita (kalimat verbal), nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier, dan garis selidik. Standar kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tertentu sehingga diperoleh nilai yang optimum pada kehidupan sehari-hari dalam rangka menunjang program keahlian Penjualan dan Akuntansi.Sebelum mempelajari standar kompetensi ini, diharapkan kalian telah menguasai standar kompetensi sistem bilangan riil dan standar kompetensi Persamaan dan Pertidaksamaan. Pada setiap akhir kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soal-soal yang mudah hingga yang sulit.Latihan soal digunakan untuk mengukur kemam-puan kalian terhadap kompetensi dasar ini. Artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukurlah sendiri kemampuan kalian dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan kalian supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan, baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kom-petensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah kalian layak atau belum layak mempelajari standar kompetensi berikutnya. Kalian dinyatakan layak jika kalian dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru. Setelah mempelajari kompetensi ini, peserta didik diharapkan dapat mengaplikasikan-nya dalam mempelajari kompetensi-kompetensi pada pelajaran matematika, pelajaran lainnya, maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh bentuk aplikasi pro-gram linier bidang Penjualan dan Akuntansi, yaitu analisis produk yang dibuat atau dibangun untuk mendapatkan keuntungan maksimum atau biaya minimum seperti contoh berikut ini. Pengembang suatu perumahan akan membangun perumahan yang terdiri atas tiga tipe, yaitu tipe 36, tipe 45 dan tipe 70 dari lahan yang dimilikinya. Lahan yang ada sebagian digunakan untuk fasilitas umum dan sosial. Dari kondisi tersebut, analisis yang mungkin dilakukan oleh pihak pengembang dalam menentukan jumlah rumah yang dapat dibangun untuk mendapatkan keuntungan maksimal antara lain: a.harga jual tanah per meter persegi, b.biaya material per unit untuk tiap tipe, c.biaya jasa tukang per unit untuk tiap tipe, d.harga rumah standar per unitnya untuk masing-masing tipe, e.banyaknya tiap tipe yang harus dibangun, dan f.modal total yang harus disediakan untuk membangun perumahan tersebut 115BAB IV Program Linier Mungkin masih banyak lagi yang harus dianalisis untuk membangun sebuah kompleks perumahan, namun di sini hanya memberikan gambaran penggunaan program linier dalam kegiatan sebuah bisnis. Dari analisis sederhana tersebut dapat diperoleh gambaran komponen apa saja yang terlibat dalam membuat sebuah perumahan. Komponen-komponen ini sebagai variabel yang kemudian disusun menjadi bentuk model pertidaksamaan linier dan dicari solusinya untuk mendapatkan keuntungan yang optimum. Dalam buku ini hanya melibatkan pertidaksamaan-pertidaksamaan dua variabel yang merupakan pengetahuan dasar dan diharapkan setelah mempelajari kompetensi ini peserta didik dapat mengembangkan pertidaksamaan dengan variabel lebih dari dua dalam penyelesaian kehidupan sehari-hari. A. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan LinierSetelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾menjelaskan pengertian program linier, ¾menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier, dan ¾menggambar grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan 2 variabel. 1. Pengertian Program Linier Dalam kegiatan produksi dan perdagangan, baik pada industri skala besar maupun kecil tidak terlepas dari masalah laba yang harus diperoleh oleh perusahaan tersebut. Tujuan utamanya adalah untuk memperoleh pendapatan yang sebesar-besarnya dengan meminimumkan pengeluarannya (biaya bahan baku, biaya proses produksi, gaji karyawan, transportasi, dan lain-lain). Untuk maksud tersebut biasanya pihak manajemen perusahaan membuat beberapa kemungkinan dalam menentukan strategi yang harus ditempuh untuk mencapainya. Misalnya, dalam memproduksi dua macam barang dengan biaya dan keuntungan Gambar 4-1 Tampak perumahan berbagai tipe Sumber: www.serpongfile.wordpress.com. 116Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansiberbeda. Pihak perusahaan dapat menghitung keuntungan yang mungkin dapat diperoleh sebesar-besarnya dengan memperhatikan bahan yang diperlukan, keuntungan per unit, biaya transportasi, dan sebagainya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut digunakan program linier. Program linier diartikan sebagai cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum) dengan menggunakan metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linier. Untuk mendapatkan penyelesaian optimum tersebut digunakan metode grafik yang diterapkan pada program linier sederhana yang terdiri atas dua variabel dengan cara uji titik pojok atau garis selidik pada daerah himpunan penyelesaian. 2. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel sudah dibahas pada saat kalian belajar matematika di SMP. Namun, untuk mengingatkan kembali perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Contoh 1 Tentukan daerah penyelesaian dari a.x≥ 0 c. x < 2 e. 2 ≤ x ≤ 4 b.y≥ 0 d. x ≥ -1 f. –1 < y ≤ 2 Jawab: a.x≥ 0 mempunyai persamaan x = 0, ini merupakan garis lurus, yang berimpit dengan sumbu y. Daerah penyelesaian dengan mudah dapat dicari yaitu daerah di sebelah kanan garis atau sumbu y karena yang diminta adalah untuk x ≥ 0. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2a. b.y≥ 0 mempunyai persamaan y = 0, ini merupakan garis lurus yang berimpit dengan sumbu x. Daerah penyelesaian dengan mudah dapat dicari, yaitu daerah di sebelah atas garis atau sumbu x karena yang diminta adalah untuk y ≥ 0. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2b. c.x < 2 mempunyai persamaan x = 2. Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah kiri garis karena yang diminta adalah untuk x < 2. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2c. d.x≥ -1 mempunyai persamaan x = -1. Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah kanan garis karena yang diminta adalah untuk x ≥ -1. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2d. e.2≤ x ≤ 4 mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Daerah penyelesaian adalah daerah di antara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2e. 117BAB IV Program Linier f.-1 ≤ y ≤ 2 mempunyai persamaan y = -1 dan y = 2. Daerah penyelesaian adalah daerah di antara kedua garis tersebut. Daerah penyelesaian ditunjukkan pada gambar 4-2f. yx0xy-1(a)(d)HPHPyx0xy240(b)(e)HPHP yx2x-12y(c)0(f)HPHP3. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linier Dua Variabel Pertidaksamaan linier dua variabel, yaitu pertidaksamaan yang memuat dua peubah misalnya x dan y. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat disajikan dalam bidang cartesius. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linier adalah ax + by < c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c atau ax + by > c. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaikan daerah himpunan pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut a.Gambarlah garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan cara mencari titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ). b.Ambil titik sembarang P(x1, y1) yang bukan terletak pada garis tersebut, kemudian dihitung nilai dari ax1 + by1. Nilai ax1 + by1ini dibandingkan dengan nilai c. c. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by ≤ c ditentukan sebagai berikut •Jika ax1+ by1< c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah penyelesaian. •Jika ax1 + by1 > c, maka daerah yang memuat titik P bukan merupakan daerah penyelesaian. d. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by ≥ c ditentukan sebagai berikut •Jika ax1+ by1> c, maka daerah yang memuat P merupakan daerah penyelesaian. •Jika ax1 + by1 < c, maka daerah yang memuat titik P bukan merupakan daerah penyelesaian. e. Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberi arsiran, sehingga daerah penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. Hal ini sangat membantu pada saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa pertidaksamaan. Gambar 4-2 Himpunan daerah penyelesaian 118Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansif. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama dengan digambar dengan garis penuh, sedangkan daerah penyelesaian pertidaksamaan yang tidak memuat tanda sama dengan digambar dengan garis putus-putus. Contoh 2 Tentukan daerah penyelesaian dari a. 2x + y ≤ 4 b. 2x – 3y ≥ 6 Untuk menyelesaikan contoh di atas, gambarkan terlebih dahulu grafik masing-masing garisnya dengan cara mencari titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Jawab: a. 2x + y = 4 Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini. x 0 2 y 4 0 Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2, 0) dan (0, 4). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 2x + y ≤ 4 dan diperoleh ⋅20 + 0 ≤ 4. Daerah yang terdapat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir) yang ditunjukkan pada gambar 4–3a. b. 2x – 3y = 6 Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dicari dengan cara membuat tabel berikut ini: x 0 3 y -2 0 Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (0, -2) dan (3, 0). Ambillah titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x – 3y ≥ 6, dan diperoleh 20⋅– 30⋅≤ 6. Daerah yang terdapat titik P bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir) yang ditunjukkan pada gambar 4 – 3b. Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, y ≥ 0 dan 2x + y ≤ 4 Gambar 4-3 Himpunan daerah penyelesaian pertidaksamaan dua variabel Next >