< Previous 119BAB IV Program Linier Jawab: Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah perpotongan atau irisan dari ketiga penyelesaian pertidaksaaan tersebut. Perhatikan (a) dan (b) pada contoh 1 dan (a) pada contoh 2 di atas. Dengan demikian himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut disajikan seperti tampak pada gambar 4-4 di samping. Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 1, y ≥ -1 dan x + 2y ≤ 4. Jawab: •Untuk x ≥ 1 mempunyai persamaan x = 1. Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah kanan garis karena yang diminta adalah untuk x ≥ 1. •Untuk y ≥ -1 mempunyai persamaan y = -1. Daerah penyelesaian adalah daerah di sebelah atas garis karena yang diminta adalah untuk y ≥ -1. •Untuk x + 2y ≤ 4 mempunyai persamaan x + 2y = 4 dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dicari seperti berikut ini. x 0 4 y 2 0 Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (4, 0) dan (0, 2) Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada x + 2y ≤ 4 dan diperoleh 0 + 20⋅≤ 4. Daerah yang memuat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir). •Jadi, daerah yang merupakan penyelesaian adalah daerah yang tanpa arsiran seperti gambar 4-5 di samping. Contoh 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 3, dan 3x + y ≥ 6 Jawab: •x + y ≥ 3 mempunyai persamaan x + y = 3 dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dapat dicari seperti berikut ini. Gambar 4-4 HP dari x≥0, y ≥0 dan 2x + y ≤ 4 Gambar 4-5 HP dari x ≥ 1, y ≥ -1 dan x + 2y ≤ 4 120Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansix 0 3 y 3 0 Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (3, 0) dan (0, 3). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada x + y ≥ 3, dan diperoleh 0 + 0 ≤ 3. Daerah yang memuat titik (0, 0) bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir). •3x + y ≥ 6 mempunyai persamaan 3x + y = 6 dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dapat dicari seperti berikut ini. x 0 2 y 6 0 Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (2, 0) dan (0, 6). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3x + y ≥ 6, dan diperoleh 3.0 + 0 ≤ 6. Daerah yang memuat titik (0, 0) bukan merupakan penyelesaian (daerah terarsir). Daerah penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran seperti pada gambar 4-6 Contoh 6 Tentukan penyelesaian dari x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3, (x, y ∈ B). Jawab: •Untuk 0 ≤ y ≤ 4 mempunyai persamaan garis y = 0 dan y = 4. Daerah penyelesaian adalah daerah di antara y = 0 dan y = 4. •Untuk 3x + 2y ≤ 12 mempunyai persamaan 3x + 2y = 12 dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dapat dicari seperti berikut ini. x 0 4 y 6 0 Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (4, 0) dan (0, 6) Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3x + 2y = 12, dan diperoleh 30⋅ + 20⋅≤ 12. Daerah yang memuat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir).•3x – y ≥ -3 mempunyai persamaan 3x – y = -3 dan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dapat dicari seperti berikut ini. Gambar 4-7 HP dari x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4, 3x + 2y ≤ 12, dan 3x – y ≥ -3 Gambar 4-6 HP x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 3, dan 3x + y ≥ 6 121BAB IV Program Linier x 0 -1 y 3 0 Titik potong dengan sumbu koordinat adalah (-1, 0) dan (0, 3). Ambillah titik P(0, 0) sebagai titik uji pada 3x – y ≥ -3, dan diperoleh 3.0 – 0 ≥ -3. Daerah yang memuat titik P merupakan penyelesaian (daerah tidak terarsir). •Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ditunjukkan oleh noktah-noktah pada daerah penyelesaian, karena x dan y merupakan bilangan bulat seperti ditunjukkan pada gambar 4,7 di atas. Jika dicari himpunan penyelesaiannya adalah HP = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3) (1, 3), (2, 3), (1, 4)}. Contoh 7 Daerah HP dari gambar 4-8 di samping merupakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut. Jawab: Untuk menyelesaikan soal tersebut, yang pertama dilakukan adalah mencari persamaan garis yang melalui titik-titik pada gambar 4-8 dengan menggunakan rumus persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)sebagai berikut. 121121xxxxyyyy−−=−−Misalkan g1 adalah garis yang melalui titik (1, 0) dan (0, 2), makag1 adalah 2yx22x2y11x2y101x020y=+⇒−=−⇒−−=⇒−−=−−dan g2adalah garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 1), makag2adalah 2y2x2xy222x1y202x010y=+⇒−=−⇒−−=⇒−−=−−Daerah yang diarsir terletak pada sebelah kanan sumbu y, maka x ≥ 0; sebelah atas sumbu x , maka y ≥ 0; sebelah bawah garis g1 maka 2x + y ≤ 2; sebelah bawah garis g2, maka x + 2y ≤ 2. Dengan demikian sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir adalah ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥2y2x2yx20y0xUntuk mencari persamaan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y di titik (a, 0) dan (0, b) dapat digunakan rumus bx + ay = ab Contoh penggunaan rumus tersebut dapat dilihat pada contoh di bawah ini. Gambar 4-8 Daerah HP dari suatu sistem pertidaksamaan 122Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiContoh 8 Daerah yang diarsir dari gambar 4-9 merupakan himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut. Jawab: •Persamaan garis g1 melalui titik (2, 0) dan (0, 4) adalah: 4x + 2y = 8 2x + y = 4 •Persamaan garis g2 melalui titik (3, 0) dan (0, 2) adalah 2x + 3y = 6 •Selain dibatasi oleh garis-garis di atas juga dibatasi oleh garis x = 0 dan y = 0. Daerah yang diarsir terletak: Sebelah kanan sumbu y, maka x ≥ 0 Sebelah atas sumbu x , maka y ≥ 0 Sebelah atas garis g1, maka 2x + y ≥ 4 Sebelah atas garis g2, maka 2x + 3y ≥ 6 Sehingga sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir adalah ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥6y3x24yx20y0xB. Rangkuman Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier 1. Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu pertidaksamaan yang memuat dua peubah misalnya x dan y. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dapat disajikan dalam bidang cartesius. Bentuk umumnya adalah ax + by < c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c atau ax + by > c. 2. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaikan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai berikut. a.Gambarlah garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan cara mencari titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ). b.Ambil titik sembarang P(x1, y1) yang bukan terletak pada garis tersebut, kemudian dihitung nilai dari ax1 + by1 untuk mengetahui apakah nilai P terletak pada daerah penyelesaian atau tidak. c.Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberi arsiran, sehingga daerah penyelesaiannya merupakan daerah tanpa arsiran. Hal ini sangat membantu pada saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa pertidaksamaan. 3. Untuk menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan membutuhkan rumus-rumus berikut: a. Rumus persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2), yaitu 121121xxxxyyyy−−=−−b. Persamaan garis yang memotong sumbu x dan y di titik (a, 0) dan(0, b) dapat digunakan rumus bx + ay = ab Gambar: 4-9 Daerah HP dari suatu sistem pertidaksamaan 123BAB IV Program Linier 1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini. a. x ≥ 1 e. -1 ≤ x ≤ 3 i. x + y ≥ 2 b. x ≤ -2 f. 0 ≤ x ≤ 4 j. -x + 2y ≤ 4 c. y ≤ 2 g. -2 ≤ y ≤ 0 k. 3x + 5y ≤ 15 d. y ≥ -3 h. 1 ≤ y ≤ 2 l. 2x + y ≤ 6 2.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini. a.x≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 h. 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, x + 2y ≤ 6 b.x≥ 0, y ≥ 0, x – y ≤ 3 i. 0 ≤ x ≤ 3, -1 ≤ y ≤ 4, 2x + y ≤ 5 c.x≥ 0, y ≥ 0, x + 3y ≥ 6 j. -1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, -x + y ≥ 3 d.x≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≥ 6 k. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≤ 8, 2x + y ≤ 4 e.x≥ 1, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 l. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 2x + y ≥ 4 f.x≥ -1, y ≤ 3, 2x + y ≤ 6 m. x ≥ 0, y ≥ 0, 12x + 3y ≤ 36, 2x + y ≥ 10 g.x + 2y ≤ 4, 3x + y ≤ 6 n. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 8, 3x + y ≥ 6 3.Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut untuk x dan y anggota bilangan bulat. a. x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 4 d. 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, x + y ≤ 5 b. 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5 e. x ≥ 0, y ≥ 0, 4x + 5y ≤ 20 c. -1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 f. x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 4.Tentukan sistem pertidaksamaan dari himpunan penyelesaian yang disajikan dalam gambar (daerah diarsir) di bawah ini. (6, 1) 124Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiC Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal) Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾menjelaskan pengertian model matematika, ¾menyusun model matematika dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier, ¾menentukan daerah penyelesaian. 1 . Pengertian Model Matematika Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti. Jadi model matematika adalah suatu rumusan (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika menerjemahkan suatu soal verbal. Model matematika pada persoalan program linier pada umumnya membahas beberapa hal, yaitu: a.Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linier dua peubah yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh peubah itu sendiri. b.Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak dioptimalkan(minimalkan atau maksimalkan) 2. Mengubah Kalimat Verbal menjadi Model Matematika dalam Bentuk Sistem Pertidaksamaan Untuk mempermudah mengubah soal-soal verbal yang berbentuk program linier ke dalam model matematika digunakan tabel sebagai berikut : Variabel Variabel 1 (x)Variabel 2 (y) Persediaan Variabel lain 1 Variabel lain 2 Variabel lain 3 Contoh 9 Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega yang ada 1,2 kg. Jika harga roti A Rp400,00 dan roti B harganya Rp500,00. Buatlah model matematikanya. Jawab: Misalkan banyak roti A = x dan banyak roti B = y , berarti variabel yang lain adalah tepung dan mentega.Sehingga tabel yang diperoleh sebagai berikut : Variabel Roti A (x) Roti B (y) Persediaan tepung 200 gram 100 gram 4000 gram mentega 25 gram 50 gram 1200 gram 125BAB IV Program Linier Terigu dan mentega paling banyak tersedia 4 kg = 4.000 gram dan 1,2 kg = 1.200 gram jadi tanda pertidaksamaan < . Dari tabel dapat dibuat pertidaksamaan: 200 x + 100 y < 4.000 disederhanakan: 2x + y < 40 . . . (1) 25 x + 50 y < 1.200 disederhanakan: x + 2y < 48 . . . (2) karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif maka: x > 0 . . . (3) y > 0 . . . (4) keempat pertidaksamaan di atas merupakan persyaratan yang harus dipenuhi disebut fungsi kendala.Harga roti A Rp500,00 dan roti B Rp400,00, maka hasil penjualan dapat dirumuskan dengan Z = 400 x + 500 y : Z disebut fungsi objektif atau fungsi sasaran yang dapat dimaksimumkan atau diminimumkan. Contoh 10 Seorang agen sepeda bermaksud membeli 25 buah sepeda untuk persediaan. Harga sepeda biasa Rp600.000,00 per buah dan sepeda federal Rp800.000,00 per buah. Ia merencanakan untuk tidak membelanjakan uangnya lebih dari Rp16.000.000,00 dengan mengharap keuntungan Rp100.000,00 per buah dari sepeda biasa dan Rp120.000,00 per buah dari sepeda federal. Buatlah model matematikanya. Jawab: Misalkan x = jumlah sepeda biasa dan y = jumlah sepeda federal, maka dapat dibuat tabel sebagai berikut. Variabel Sepeda biasa (x)Sepeda federal (y)PersediaanJumlah 1 1 25 Modal 600.000 800.000 16.000.000 Persediaan sepeda dan modal paling banyak 25 buah dan Rp16.000.000,00. Jadi tanda pertidaksamaan < , sehingga pertidaksamaannya sebagai berikut. x + y < 25 . . . . (1) 600.000x + 800.000 y < 16.000.000 disederhanakan 3 x + 4y < 80 . . . . (2) x > 0 . . . . (3) dan y > 0 . . . . (4) Bentuk objektifnya Z = 100.000 x + 120.000 y Gambar 4-10 Toko roti www.mallkelapagading.com 126Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiContoh 11 Seorang petani memerlukan paling sedikit 30 unit zat kimia A dan 24 unit zat kimia B untuk pupuk kebun sayurnya. Kedua zat kimia itu dapat diperoleh dari pupuk cair dan pupuk kering. Jika setiap botol pupuk cair yang berharga Rp20.000,00 mengandung 5 unit zat kimia A dan 3 unit zat kimia B, sedangkan setiap kantong pupuk kering yang berharga Rp16.000,00 mengandung 3 unit zat kimia A dan 4 unit zat kimia B. Buatlah model matematikanya, sehingga petani dalam membeli dua jenis pupuk tersebut mengeluarkan biaya seminimal mungkin. Jawab: Misalkan banyak botol pupuk cair = x dan banyak kantong pupuk kering = y , berarti variabel yang lain adalah zat kimia A dan zat kimia B. Dengan demikian tabel yang diperoleh adalah sebagai berikut Variabel Pupuk cair (x) Pupuk kering (y)Persediaan Zat kimia A 5 3 30 Zat kimia B 3 4 24 Zat kimia A dan zat kimia B paling sedikit 30 unit dan 24 unit. Jadi, tanda pertidaksamaan adalah ≥. Dari tabel dapat dibuat pertidaksamaan: 5x + 3y ≥ 30 . . . . (1) 3x+ 4y ≥ 24 . . . . (2) karena x dan y adalah bilangan bulat yang tidak negatif, maka: x≥ 0 . . . . (3) y≥0 . . . . (4) Dengan harga per botol pupuk cair Rp20.000,00 dan per kantong pupuk kering Rp16.000,00, maka pengeluaran petani untuk membeli pupuk dirumuskan dengan fungsi obyektif Z = 20.000x + 16.000yContoh 12 Pengembang PT Bangun Propertindo membangun tiga jenis rumah, yaitu tipe 21, tipe 36, dan tipe 45 di daerah Tangerang provinsi Banten. .Luas tanah yang diperlukan untuk membangun masing-masing tipe adalah 60 m2, 72 m2, dan 90 m2untuk tiap unitnya. Tanah yang tersedia seluas 50 hektar. Tanah yang tersedia digunakan juga untuk membuat jalan serta diwajibkan menyediakan lahan untuk fasilitas sosial dan umum (fasos dan fasum) yang luasnya 5% dari tanah yang tersedia. Apabila banyaknya rumah yang dapat dibangun masing-masing tipe adalah x, y, dan z unit, buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Gambar 4-11 Perumahan di Serpong www.serpongfile.wordpress.com 127BAB IV Program Linier Jawab: Misalkan banyaknya rumah yang dapat dibangun sebagai berikut. Rumah tipe 21 adalah x unit, Rumah tipe 36 adalah y unit, dan rumah tipe 45 adalah z unit. Luas tanah yang digunakan untuk membangun rumah adalah L. Jadi, L = luas tanah yang tersedia – luas untuk jalan dan fasos/fasum = 50 hektar – 5% . 50 hektar = 47,5 hektar = 475.000 m2 Dengan demikian model matematika dari persoalan verbal tersebut adalah: x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 60x + 72y + 90z ≤ 475.000 Tanda ≥ dimaksudkan bahwa tiap tipe rumah yang dibangun lebih dari sama dengan 0, sedangkan tanda ≤ untuk membatasi luas tanah maksimum yang tersedia. Persoalan yang muncul biasanya pada perusahaan, yaitu bagaimana memaksimumkan keuntungan (pendapatan) atau meminimumkan pengeluaran dari bahan yang digunakan dalam memproduksi suatu barang atau jasa. Variabel atau faktor-faktor lain yang berkaitan proses menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) perlu diperhitungkan. Pada pembahasan buku ini hanya terdiri atas dua peubah. Contoh 13 Dari contoh 10, buatlah daerah penyelesaiannya. Jawab: Contoh 10, diperoleh sistem pertidaksamaan: x + y < 25 3x + 4y < 80 x > 0 y > 0 dengan menggunakan cara menentukan daerah penyelesaian dari contoh 5 diperoleh grafik daerah penyelesaian sebagai berikut. Gambar 4-12 Daerah HP x + y <25; 3x + 4y < 80; x > 0; y >0 128Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan AkuntansiD. Rangkuman Model Matematika dari Soal Cerita (Kalimat Verbal) 1. Untuk mempermudah mengubah soal-soal verbal yang berbentuk program linier ke dalam model matematika kita gunakan tabel sebagai berikut : Variabel Variabel 1 (x) Variabel 2 (y) Persediaan Variabel lain 1 Variabel lain 2 Variabel lain 3 2. Sistem pertidaksamaan ≤, jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling banyak“. Sistem pertidaksamaan ≥, jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling sedikit“. Dari soal-soal verbal di bawah ini, buatlah model matematikanya, baik fungsi kendala maupun fungsi sasaran. jika ada. Kemudian tentukan daerah penyelesaiannya. 1.Seorang petani ingin memupuk tanaman jagung dan kedelai masing-masing dengan 300 gram Urea dan 150 gram Za untuk jagung, sedangkan untuk kedelai 600 gr urea dan 125 gr Za. Petani tersebut memiliki hanya 18 kg Urea dan 6 kg Za. 2.Produk A membutuhkan 30 kg bahan mentah dan 18 jam waktu kerja mesin. Produk B membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam kerja mesin. Bahan mentah yang tersedia 75 kg dan waktu kerja mesin 72 jam. 3.Seorang penjahit akan membuat pakaian jadi dengan persedian kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter. Model A membutuhkan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bergaris. Model B membutuhkan 2 meter kain polos dan 0,5 meter kain bergaris. Keuntungan pakaian model A sebesar Rp15.000,00 dan pakaian model B sebesar Rp10.000,00. 4.Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 75 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 100 pasang. Toko tersebut hanya dapat memuat 200 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki- laki sebesar Rp15.000,00 dan sepatu wanita Rp10.000,00. 5.Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 640 orang mahasiswa. Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiri atas tipe I (untuk 4 orang) disewakan Rp500.000,00/bulan dan tipe II (untuk 6 orang) disewakan Rp700.000,00/bulan. 6.Seorang penjaga buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual Apel dan jeruk. Harga pembelian apel Rp5.000,00 tiap kg dan jeruk Rp2.000,00 tiap kg. Pedagang tersebut hanya mempunyai modal Rp1.250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 kg. 7.Diketahui luas daerah parkir 360 m2. Jika luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan sebuah bus 24 m2, dan daerah parkir tidak dapat memuat lebih dari Next >