< Previous19BAB I Sistem Bilangan Real C. Bilangan Berpangkat Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:¾mengalikan dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ¾membagi dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ¾memangkatkan bilangan berpangkat, ¾memangkatkan dari perkalian dua bilangan, ¾memangkatkan dari pembagian dua bilangan, ¾mengubah pangkat negatif ke pangkat positif, dan ¾mengubah pangkat pecahan ke bentuk akar pangkat. 1. Pengertian bilangan berpangkat Bilangan berpangkat dirumuskan sebagai berikut an = nax....xaxaxaxa Contoh 34 a.23 = 2 x 2 x 2 = 8 b.54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 c.(31)5 = 31x 31x 31x 31x 31= 2431 d.103 = 10 x 10 x 10 = 1000 2. Aturan Dasar Pengoperasian Bilangan Berpangkat a. Perkalian Bilangan Berpangkat yang Bilangan Pokoknya Sama ap x aq = a p + q Contoh 35 a. 23 x 25 = 2 3 + 5 = 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 b. (31)2 x (31)3 = (31) 2 + 3 =(31)5 = 2431 c. 35 x 3 = 3 5 + 1 = 36 d. 10 x 106 = 10 1 + 6 = 107 e. 53 x 5-1 = 5 3 +(-1) = 52 b. Pembagian Bilangan Berpangkat yang Bilangan Pokoknya Sama ap : aq = a p – q Contoh 36 a. 38 : 35 = 3 8 - 5 = 33 = 27 b. 4)51( : 2)51(= 24)51(− 2)51(= 251 c. 35 : 3 = 3 5 - 1 = 34 20 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansid. 10 : 106 = 10 1 - 6 = 10-5 e. 53 : 5-1 = 5 3 -(-1) = 54 c. Pemangkatan Bilangan Berpangkat ( ap ) q = a p x q Contoh 37 a.(2 2)5 = 2 2x5 = 210 = 1024 d. 5332= 822)2(353x5535=== b.(441)5 = 4x415= 5 e. 10010)10(000.000.10272772=== c.4381= 2733)3(343x4434=== d. Pemangkatan dari Perkalian Dua Bilangan (a x b) p = a px b p Contoh 38 a.(3 x 5)2 = 32 x 52 = 9 x 25 = 225 b.24 x 54 = (2 x 5)4 = 104 = 10.000 c.255 x 45 = (25 x 4)5 = 100 5 e. Pemangkatan dari Pembagian Dua Bilangan (a : b)p = a p : b p Contoh 39 a.(12 : 4)5 = 12 5 : 4 5 = 248832 : 1024 = 243 b.1004 : 504 = (100 : 50)4 = 2 4 = 16 f. Bilangan Berpangkat Negatif ppa1a=− Contoh 40 a.8121233==−b.5151=− 21BAB I Sistem Bilangan Real c.0,008 =351251000.18−== d.10 : 106 = 10 1 – 6 = 10–5 = 00001,0000.1001= e.(27133)3()811343x443443====−−− g. Pemangkatan Bilangan Pecahan qpqpaa= Contoh 41 a.332322555== d. 101021= b.2555524848=== e. aa21= c.8882121== Contoh 42 Carilah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini. a.43x = 32 b. 92x –1 = 274 – 3x Jawab: a. Nyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen/pangkat sedemikian sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, maka disamakan kedua eksponennya. 43x = 32 (22)3x = 25 26x = 25 (Bilangan pokok kedua ruas sudah sama) 6x = 5 x = 65 b. 9 2x –1 = 27 4 – 3x (32)2x – 1 = (33) 4 – 3x 34x – 2 = 312 – 9x (Bilangan pokok kedua ruas sudah sama) 4x – 2 = 12 – 9x 4x + 9x = 12 + 2 13x = 14 x = 1314 D. Rangkuman Bilangan Berpangkat 1. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ap x aq = a p + q 22 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 2. Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, ap : aq = a p – q 3. Pemangkatan bilangan berpangkat, ( ap) q = a p x q 4. Pemangkatan dari perkalian dua bilangan, (a x b) p = a p x b p 5. Pemangkatan dari pembagian dua bilangan, (a : b)p = a p : b p 6. Bilangan berpangkat negatif, ppa1a=− 7.Pemangkatan bilangan pecahan, qpqpaa= Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana. 1.73 x 75 x 7 –2 11. 0,2521− x 5–1 2.2)51(x (51)–4 x (51) 12. 32216 x (491) -4 x4381− 3.35 x 3 : 3 2 13. 104 : 106 x 10 : 1010 4.10 x 106 x 10 – 4 : 107 14. (43)000.101 5.53 x 5– 1 : 55 x 52 15. 3232328x25x5 6.38 : 3– 2 16. 4381 7.(81)4 : (41)2 17. 3253125x32 8.(31)5 : 9 18. 4316x81 9.10 : 100 –2 19. 433281x343 10.53x (251)– 1 : 5 2 20. 32)343x000.1( 23BAB I Sistem Bilangan Real Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana. 21.(24)5 x 23 31. 54553)2(:32− 22.(215) 6 : 5 4 32. 52 x ( 1251)–1 : 25 2 23.4181 x 432)9( 33. (91) – 5 : 3 24.53554)2(:32 34. 33 x 3-1 : 3 5 x 3 2 25.32353)10(x000.100−− 35. 31312x500 x ( 125 x 3 )0 26. 31)125x27( 36. (315) 9 : 5 -3 27. 2 – 3 x 54)243x32( 37. 43000.10x121 28.32328x125x ( 25 x 4 )0 38. 433281x512−x (2561) - 4 29. 32322:54 39. 31125,0−x 5– 2 30. 3 – 4 : 3 –3 40. 32353)1,0(x000.100−− 41. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan eksponen berikut ini. a. 22x = 32 c. 102x –1 = 10001 b. 16x = 21 d. 52x –1 = 125 E. Bilangan Irasional Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾membedakan bentuk akar dan bukan bentuk akar, ¾mengoperasikan bentuk akar, ¾menyederhanakan bentuk akar, dan ¾merasionalkan penyebut dari bentuk akar. 1. Definisi Bentuk Akar Seperti yang sudah dibahas pada subkompetensi sebelumnya, bahwa aa21=. Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan iirasional. Contoh: 3, 5 , 8 , 15 , 50, dan lain-lain. Contoh bukan bentuk akar, 1 sebab 1 = 1 ( bukan bilangan irasional) 4 sebab 4 = 2 64 sebab 64= 8 dan lain-lain. 24 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi2. Menyederhanakan Bentuk Akar Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan di mana bilangan yang satu dapat diakarkan, sedangkan bilangan yang lain tidak dapat diakarkan. Contoh 43 Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a. 32 b. 18 c. 24 d. 80 e. 147 Jawab: a.32 = 216⋅boleh 32= 48⋅ tetapi menyederhanakannya dua kali = 216⋅ = 42 b.18= 29⋅= 29⋅= 32 c.24= 64⋅= 26 d.80= 516⋅= 45 e.147= 349⋅= 73 3. Mengoperasikan Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis. Contoh 44 Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a.3 + 23 d. 5 + 23 – 45 +53 b.36 + 6 + 46 – 56 e. 32+ 8+50 – 98 c.2 + 3 + 7 f. 20 + 28 – 125 +63 – 80 Jawab: a.3 + 23= (1 + 2 ) 3= 33 b.36 + 6 + 46 – 56= ( 3 + 1 + 4 – 5) 6= 36 c. 2 + 3 + 7 tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan d. 5 + 23 – 45 + 53= (1 – 4) 5+ (2 + 5)3= -35 + 73 e. 32+ 8+50 – 98 = 216⋅+ 24⋅+ 225⋅– 249⋅ = 42 + 22 + 52 – 72 = 42 f. 20 + 28 – 125 +63 – 80= 25 + 27 – 55 + 37 – 45 = -75 + 57 25BAB I Sistem Bilangan Real b. Perkalian Bilangan Bulat dengan Bentuk Akar a x bc =abc Contoh 45 Selesaikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a.4x32 d. 3x(62 +18) b.5x50 e. 6x(27–108) c.10x420 Jawab: a.4x32 = 122 b.5x50= 550= 5225⋅ = 5x52 =252 c.10x420= 4020=40x25=805 d.3x (62+18)= 3 x 62+318= 182+3x32=182+ 92 = 272 e.6x(27–108)= 627– 6108=6x33 – 6x63 =183– 363= -183 c. Perkalian Bentuk Akar dengan Bentuk Akar a x b =bxa ac x bd = a x bdxc a x a = a Contoh 46 Kalikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini. a.3 x 2 e. 26x ( 72 + 45) b.56 x 3 f. (2 +5)( 6 + 4) c.25x 36 g. (32 – 27)(22+6) d.20x 27 h. (12 +5)( 12 – 5) Jawab: a.3 x 2 = 23×=6 b.56 x 3= 536× = 518 = 5x32 = 152 c.25x 36 = (2 x 3) 6.5= 630 d.20x 27= 25 x 33 = 615 e.26x ( 72 + 45) = (26x 72) +(26x 45) = 1412+ 830 = ×1423 + 830= 283 + 830 f.(2+5)( 6 + 4) = 2x6+ 42+ 5x6+45 =12+ 42 + 30+45= 23 + 42 +30+45 g.(32 – 27)(22+6) = 64+ 312– 414– 242 = 12 + 63– 414– 242 26 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansih.(12 +5)( 12– 5) = 12 – 60+ 60– 5 = 12 – 5 = 7 Dari contoh terakhir dapat disimpulkan sebagai berikut. (a + b ) (a – b) = a – b Contoh 47 a.(5 + 2 ) (5 – 2) = 5 – 2 = 3 b.(15– 12) (15 + 12) = 15 – 12 = 3 c.(32 + 23 ) (32 – 23) = (18 + 12) (18 – 12)= 18 – 12 = 6 d. Pembagian Bentuk Akar Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan istilah “merasionalkan penyebut“ bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini. bbabbxbaba== ba)ba(kbabaxbakbak2−−=−−+=+ ba)ba(kbabaxbakbak−−=−−+=+ Contoh 48 Rasionalkan penyebut dari pecahan di bawah ini.a.28 d. 1758− b.5210 e. 2323+− c.2715+ f. 1052 Jawab: a.2422822x2828=== b.55x251055x52105210=== c.237327)27(152727x27152715−=−−=−−+=+ 27BAB I Sistem Bilangan Real d.175175)175(8175175x175817582+=−+=++−=− e. 6251262323)23(2323x232323232−=+−=−−=−−+−=+− f. 21025.2105021010x10521052==== F. Rangkuman Bilangan Irasional 1.Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan irasional. 2.Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu dapat diakarkan, sedangkan bilangan yang lain tidak dapat diakarkan. 3.Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis 4.Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar: a x bc =abc 5.Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar: a x b =bxa ac x bd = a x bdxc a x a = a 6. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini. a.bbabbxbaba== b.ba)ba(kbabaxbakbak2−−=−−+=+ c.ba)ba(kbabaxbakbak−−=−−+=+ Sederhanakan bentuk akar di bawah ini. 1.200 + 18+ 800 – 72 7. 600+ 24 + 216– 54 2.752712++ 8. 344+ 110– 99 3.7008028125+−+ 9. 4150– 354– 294+ 2486 4.4 x (3505+) 10. 55 x (32 + 200) 5.36 x (18 – 54) 11. 324x(6 – 54) 6.23 x ( 240+ 12) 12. 43 x ( 220+ 512) 28 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi13.(2 +3)(2+3) 22. (5+6)( 5+6) 14.(35 – 23)(24 +6) 23. (25 – 33)(25+ 33) 15.(6 +5)( 6 – 5) 24. (6 +5)( 6 – 5) 16. (¥28 – 12)(27 + 23) 25. (227– 15) (63 + 15) 17. 26 x 6 + ¥9 26. 25x5 +7(27 – 3) 18. 5 x 30 27. 50x 20 19.47 x 328 28. (47)2 + (23)2 20.200 x 52 29. 300x 27 21.25 x ( 72 – 420) 30. 211x ( 611- 2) Rasionalkan penyebut pada soal berikut. 31. 55 33. 81310+ 35. 6565+− 37. 2582 39. 3246− 32. 104100 34. 1444− 36. 1020 38. 71324+ 40. 5858+− G. Logaritma Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini kalian diharapkan dapat ¾menjelaskan konsep logaritma, ¾menjelaskan sifat-sifat logaritma, ¾menggunakan tabel logaritma, dan ¾melakukan operasi logaritma dengan sifat-sifat logaritma. 1. Logaritma Biasa (Briggs) Secara umum ditulis, ac = b ⇔ alog b = c •a disebut bilangan pokok logaritma atau Basis •b disebut yang dilogaritmakan •c disebut hasil logaritma •a > 0, a ≠ 1, b > 0 •bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis. 2. Sifat-Sifat Logaritma a.p log (a x b) = p log a + p log b b.p log ba = p log a – p log b c.p log a n = n. p log a d.a log b = alogblogpp e.alogblog1ba= Next >