< Previous49BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan⎩⎨⎧=−=+10y 2x5y3x⎩⎨⎧=−=+10yx25yx3215y3x32yxxx−=−=+1x 7x7 102y6x32yx−−−==+=−=+4y 20y5 303y6x102y6x−−==−=−=+Sekarang melenyapkan variabel y untuk mencari x Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah {(-1,2)} Contoh 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: Karena koefisien y sudah sama sehingga untuk mencari x hanya mengeliminasi y dengan cara menjumlahkannya 3x + y = 5 2x – y = 10 + 5x = 15 x = 3 Untuk mencari y kita eliminasi x dengan mengalikan kedua persamaan sehingga koefisien x menjadi sama 3210y2x5y3xxx=−=+ Jadi, himpunan penyelesaian sistem adalah {(3, -4)} b. Metode Substitusi Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya. Contoh 6Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: 3x + y = 5 . . . 1) 2x – y = 10 . . . 2) Misalkan yang akan disubstitusi atau diganti adalah variabel y pada persamaan 2), maka persamaan 1) dinyatakan dalam bentuk y = 5 – 3x. 2x – y = 10 2x – (5 – 3x) = 10 2x – 5 + 3x = 10 5x – 5 = 10 5x = 10 + 5 5x = 15 ⇔ x = 3 Selanjutnya x = 3 disubstitusikan ke y = 5 – 3x = 5 – 3(3) = -4 Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(3, -4)} 50Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi ⎩⎨⎧=+=+1y3x24y2x3⎩⎨⎧−=−=+1yx2y2xContoh 7Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: 3x + 2y = 4 . . . 1) 2x + 3y = 1 . . . 2) Misalkan yang akan disubstitusikan atau diganti adalah variabel x pada persamaan 2) , maka persamaan 1) dinyatakan dalam bentuk 3x + 2y = 4 3x = 4 – 2y 3y24x−= Substitusikan ke persamaan kedua 2x + 3y = 1 1y33y242=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛− kedua ruas kalikan dengan 3 2(4 – 2y) + 9y = 3 8 – 4y + 9y = 3 5y + 8 = 3 5y = 3 – 8 5y = -5 ⇔ y = -1 Substitusikan y = -1 pada 3y24x−= untuk mendapatkan x. 2363)1(243y24x==−=−=− Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(2, -1)} c. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi) Contoh 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari Jawab: Karena koefisien x sudah sama, maka variabel yang dieliminasi adalah x dengan cara mengurangkannya. 1y3y3 1 yx2y2x ===−=+− Substitusikan y = 1 ke salah satu persamaan untuk mendapatkan variabel x. x + 2y = 2 x + 2(1) = 2 x + 2 = 2 x = 2 – 2 = 0, Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah {(0, 1)} 51BAB II Persamaan dan PertidaksamaanContoh 9Jumlah dua bilangan adalah 28 dan selisihnya 12. Carilah bilangan-bilangan itu. Jawab: Misalkan bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka hasil jumlahnya adalah x + y = 28 dan selisihnya adalah x – y = 12 Dengan menggunakan metode campuran dapat dicari x dan y, yaitu x + y = 28 x – y = 12 + 2x = 40 x = 20 x + y = 28 20 + y = 28 y = 28 – 20 = 8 Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 20 dan 8. Contoh 10 Harga 5 buku tulis dan 2 pensil di koperasi adalah Rp13.000,00. Harga 3 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp10.500,00. Berapa harga sebuah buku tulis dan sebatang pensil? Jawab: Misalkan: harga sebuah buku tulis adalah x harga sebuah pensil adalah y, maka diperoleh sistem persamaan 1.500 y 13.500- 9y- 500.52y15x15000.39y6x1553500.10y3x3000.13y2x5xx===+=+=+=+ Substitusi y = 1.500 ke salah satu persamaan sehingga 5x + 2y = 13.000 5x + 2(1.500) = 13.000 5x + 3.000 = 13.000 x = 2.000 Jadi, harga sebuah buku tulis Rp2.000,00 dan sebatang pensil Rp1.500,00. 4. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan : ax + b (R) 0; a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan menyelesaikan persamaan linier satu variabel. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan biasanya juga dituliskan dalam bentuk interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis interval disajikan sebagai berikut. Notasi(a, b)[a, b]Jenis IntervalTerbukaTertutupPertidaksamaana < x < bGrafikbxa≤≤abab52Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi Tanda pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Sedangkan tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah sebagai berikut. •Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama (sifat 1). •Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (sifat 2). •Tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama (sifat 3). Contoh 11 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini. a.5x > 4x + 9 f. 32x3− + 5 < 1 – 41x2+ b.8x – 3 < 7x + 4 g. x + 3 < 2x + 5 < x + 8 c.15x +2 < 12x + 11 h. 3 < 4x - 5 < 11 d.x – 4 > 2 + 4x i. x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10 e.-2 –3x < 2x – 22 Jawab: a. 5x > 4x + 9 5x – 4x > 4x + 9 – 4x (sifat 1) x > 9 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 9} dengan garis bilangan b. 8x – 3 < 7x + 4 8x – 7x – 3 + 3 < 4 + 3 +7x – 7x (sifat 1) x < 7 Cara ini kurang efisien, cara lain dengan mengelompokkan variabel di satu ruas dan konstanta di ruas lain seperti menyelesaikan persamaan linier 8x – 3 < 7x + 4 8x – 7x < 4 + 3 x < 7 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < 7} dengan garis bilangan 0(a, b][a, b)(~, b)[a, ~)Setengah TertutupTerbukaSetengah TerbukaSetengah Terbukabxa<≤bxa≤<ax≥bx<aaabb53BAB II Persamaan dan Pertidaksamaanc. 15x + 2 < 12x + 11 15x – 12x < 11 – 2 3x < 9 x 39(sifat 2) x 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < 3} dengan garis bilangannya d. x – 4 > 2 + 4x x – 4x > 2 + 4 -3x > 6 x < 36− (sifat 3, yaitu arah pertidaksamaan berubah) x < -2 . Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < -2 } dengan garis bilangannya e. -2 – 3x < 2x – 22 -3x – 2x < -22 + 2 -5x < -20 x > 520−−( sifat 3) x > 4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 4} f. 32x3− + 5 < 1 – 41x2+ (dikalikan 12) 4(3x – 2) + 60 < 12 – 3(2x + 1) 12x – 8 + 60 < 12 – 6x – 3 12x + 6x < 12 – 3 + 8 – 60 18x < - 43 x < -1843 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < -1843} g. x + 3 < 2x + 5 < x + 8 (kelompokkan variabel di tengah dan konstanta di sebelah kiri dan kanan dengan cara mengurangkan semua ruas dengan x dan 5 ) x + 3 – x – 5 < 2x + 5 – x – 5 < x + 8 – x – 5 -2 < x < 3, Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | -2 < x < 3} dengan garis bilangannya h. 3 < 4x – 5 < 11 (tambahkan semua ruas dengan 5) diperoleh 3 + 5 < 4x < 11 + 5 8 < 4x < 16 (bagi semua ruas dengan 4) diperoleh 2 < x < 4, Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | 2 < x < 4} i. x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10 (untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan tersebut). Sebenarnya contoh g dan h dapat diselesaikan dengan cara ini.54Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi 3741x + 4 < 5x + 3 < 2x + 10 dipisahkan menjadi x + 4 < 5x + 3 dan 5x + 3 < 2x + 10 x – 5x < 3 – 4 dan 5x – 2x < 10 – 3 - 4x < -1 dan 3x < 7 x > 41 dan x < 37 Grafik irisan Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | 41 < x < 37} 5. Soal-Soal Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Untuk menyederhanakan soal-soal verbal menjadi kalimat matematika dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, objek yang ditanya dimisalkan dengan x. Contoh 12 Bahlul meminjamkan uangnya kepada Fulan dan Eko sebanyak Rp5.000.000,00 dengan bunga masing-masing 5% dan 7% setahun. Setelah satu tahun Bahlul menerima bunga total sebesar Rp330.000,00. Tentukan modal yang dipinjam Fulan dan Eko. Jawab: Misalkan modal yang dipinjam Fulan adalah x Modal yang dipinjam Eko adalah Rp5.000.000 – x Bunga yang diperoleh Bahlul = Bunga dari Fulan + Bunga dari Eko 330.000 = 5% x + 7%( 5.000.000 – x) (kalikan 100) 33.000.000 = 5x + 7( 5.000.000 – x) 33.000.000 = 5x + 35.000.000 – 7x 7x – 5x = 35.000.000 – 33.000.000 2x = 2.000.000 ⇒ x = 1.000.000 Jadi, modal yang dipinjam Fulan adalah Rp1.000.000,00 dan dipinjam Eko adalah Rp4.000.000,00. Contoh 13 Seorang pedagang apel membeli 1.000 buah apel dengan harga Rp1.200,00 tiap buah. Pedagang tersebut kemudian menjual 400 buah dengan laba 20%, berapakah ia harus menjual sisanya yang 600 buah agar seluruhnya mendapatkan laba 35%? Jawab: Misalkan ia harus menjual sisanya yang 600 buah seharga x Jadi, laba per buah = x – 1.200 Harga pembelian = 1000 buah x Rp1.200,00/buah = Rp1.200.000,00 Laba seluruhnya = 35% × Rp1.200.000,00 = Rp.420.000,00 Laba seluruhnya = Laba 400 buah + laba 600 buah 420.000 = 20% × 400 × 1200 + 600(x – 1.200) 55BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan 420.000 = 96.000 + 600x – 720.000 420.000 + 720.000 – 96.000 = 600x 600x = 1.044.000 x = 1.740 Jadi, ia harus menjual yang 600 buah dengan tiap buahnya sebesar Rp1.740,00 Contoh 14 CV SEJAHTERA memproduksi mainan anak-anak dengan biaya Rp3.500,00 tiap unit dan biaya operasional produksi Rp100.000,00. Jika mainan akan dijual Rp5.000,00, tentukan banyaknya mainan yang harus diproduksi agar untung paling sedikit Rp75.000,00. Jawab: Misalkan banyaknya mainan yang diproduksi sebanyak x Biaya total yang dikeluarkan = 3.500x + 100.000 Pendapatan total yang diperoleh = 5.000x Untung = Pendapatan total – Biaya total = 5.000x – (3.500 x + 100.000) = 5.000x – 3.500 x – 100.000 = 1.500x – 100.000 Untung paling sedikit Rp75.000,00 Jadi, untung > 75.000 1.500x – 100.000 > 75.000 1.500x > 75.000 + 100.000 1.500x > 175.000 x > 116,67 Jadi, supaya untung lebih dari Rp75.000,00 harus terjual 117 buah mainan anak-anak. Contoh 15 Suatu perusahaan yang memproduksi barang tertentu dengan harga jual Rp900,00 tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp200.000,00 dan biaya variabel per unit barang adalah Rp400,00. a.Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan biaya total. b.Tentukan banyaknya unit barang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok. Jawab: a. Misalkan banyaknya barang terjual adalah x unit Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 barang adalah R = 900x Biaya tetap = Rp200.000,00 Biaya variabel = Rp400,00 Biaya total produksi Q = 200.000 + 400x b. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R = Q R = Q 900x = 200.000 + 400x 500x = 200.000 x = 400 Jadi, banyaknya barang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400 unit. 56Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi B. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Linier 1. Kalimat terbuka yang memuat tanda “=”disebutPersamaan . Sedangkan kalimat terbuka yang memuat tanda “ < , < , > , > “ disebut Pertidaksamaan. 2. Persamaan atau pertidaksamaan linier adalah suatu persamaan atau pertidaksamaan dengan variabelnya berpangkat satu. 3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dapat dicari dengan menggunakan metode sebagai berikut. a.eliminasi yaitu mencari nilai variabel dengan melenyapkan variabel yang lain dengan cara mengurangkan atau menjumlahkannya, b.substitusi yaitu mengganti atau menyatakan salah satu variabel dengan variabel lainnya, c.gabungan eliminasi dan substitusi. 4. Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan ax + b (R) 0; a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan. 5. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan a.tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama; b.tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama; c.tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama. 1. Tentukanlah nilai x dari persamaan-persamaan di bawah ini. a.2x + 8 = x – 12 b.3(2x + 1) = 27 c.5x + 9 = 4x – 8 d.2( x – 8) = 10 – x e.-3( x – 1) = -2( x + 5) f.3( 2x – 1) = -2(3x – 1) g.-(4x – 4) + 5x = 2x + 8 h.2( 3x + 1) = -3(5 – x) i.2x + 5(x – 1) = 6 – 3x j.5(3x – 4) – x = 8 k.3 + 5(x – 1) = 16 +3x l.2(5x + 4) – 4x = 8 – (2x – 5) m.5( x – 1) = 3(x + 6) n.21 x – 2 = 41 x + 5 o.6x2153x2+=−p.31(6x +9) = 41(2x + 4) q.32x – 4 = 41x + 8 r.7x105x32+=−s.31(6x +9) = 53(2x – 4) t.2(2x – 4) – 3x = 8 – 3(2 – 5x) 57BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan2.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah ini. a.8x – 2 + 6x = 12 – 2x + 4 b.12x31253x−+=+−c.3 – 2(1 – x) = 5 + 7(x – 3) d.52( x – 9) = 41(3x + 5) e.6( x – 3) – 2x = 8 + 3(x + 1) f.8x – 2x + 6x = 18 – 3x + 4 g.42x1373x2−+=+−h.2 – 3(1 – 2x) = 5 – 2(2x + 3) i.52( 3x – 7) = 41( x + 15) j.4( 2x – 3) – 8x = 1 + 3(2x – 1) 3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut. a.6x > 3x - 9 b.5x – 3 < 7x + 9 c.5(x – 2) ≤ 6x + 10 d.19 – 3x < 2 – 5 e.6x – 2x > 3x – 12 f.3x – 3 < 7x + 13 g.5(2x – 2) ≤ 12x – 10 h.19 – 3x < 2(x – 1) – 5 i.-2(5x + 4) – x > 3 – (6x – 5) j.5 – 2(1 – 2x) ≤ 10 + 6(x – 3) k.3 + 4(2p – 1) > -12 + 3p l.-3(x + 4) – 3x > 1 – (8x – 6) m. 8 – (1 – 2x) ≤ 8 + 2(4x – 3) n.3 – 4(2p – 1) > -12 + 5po.51x31322x3+−≤+−p.21x – 3 > 41x – 5 q.2x1253x2+≤− r.532x+− < -2 – 54x+ s.23x – 3 > 41 x – 7 t.4x32− ≤ 2x212+ 4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini dan lukis garis bilangannya. a.7 ≤ 2x + 3 ≤ 23 b.2x – 7 < 5x + 2 ≤ 2x + 20 c.4x –10 ≤ 3x + 5 ≤ 4x + 17 d.2x + 2≤ 4x + 1≤ 3x + 9 e.3x + 2 ≤ 6 – 5x ≤ 2x + 10 f.4 ≤ 2x + 3 ≤10 g.x – 4 < 3x + 2 ≤ x + 12 h.2x –10 ≤ 5x + 5 ≤ 2x + 17 i.x + 5 ≤ 3x + 1 ≤ 2x + 8 j.2x + 1 ≤ 3 – x ≤ 2x + 5 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier di bawah ini. a. x – y = 2 d. 5x + 2y = 9 g. 4x + 2y – 13 = 0 x + y = 1 4x + y = 12 x + 15y + 4 = 0 b. 2x – y = 4 e. 2x + y = 4 h. 5x – 2y = 2 x – y = 5 x – y = 5 3x + 4y = 8 c. 3x – y = -7 f. 2x + y = 15 i. x + y = 3 x + 3y = 1 3x + 2y = -8 x + 2y = -1 6. Selesaikanlah soal-soal aplikasi di bawah ini. a.Tuan Rente meminjamkan uangnya kepada Jaka dan Joko Rp7.000.000,00 dengan bunga masing-masing 6% dan 9% setahun. Setelah satu tahun Tuan Rente menerima bunga total sebesar Rp480.000,00. Tentukan modal yang dipinjam Jaka dan Joko? b.Toko buku membeli 700 buku kuitansi dengan harga Rp2.000,00 tiap buah. Toko tersebut kemudian menjual 500 buah dengan laba 15%, Berapakah harga jual tiap buku kuitansi sisanya, agar mendapatkan laba 20%? 58Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi c.CV ADIL memproduksi kopiah dengan biaya Rp6.000,00 tiap unit, dan biaya operasional produksi Rp500.000,00. Kopiah akan dijual Rp10.000,00. Tentukan banyaknya kopiah yang diproduksi agar laba paling sedikit Rp1.000.000,00 d.Harga 1 kg apel 2 kali harga 1 kg jeruk. Sedangkan harga 2 kg apel dan 3 kg jeruk Rp24.500,00. Jika dibeli 5 kg apel dan 10 kg jeruk, berapa rupiah yang harus dibayar? e.Toko grosir buku membeli 800 buku jurnal dengan harga Rp4.000,00 tiap buku. Toko tersebut kemudian menjual 700 buah dengan laba 22%. Berapakah harga jual tiap buku sisanya, agar mendapatkan laba 20%? f.Marliana menerima gaji pokok Rp600.000,00 per bulan ditambah komisi 10% atas penjualan yang dilakukannya. Marliana rata-rata mampu untuk menjual barang seharga Rp150.000,00 tiap dua jam. Berapa jam ia harus bekerja rata-rata tiap bulan, agar ia dapat menerima penghasilan Rp2.400.000,00 dalam sebulan? 7. Selesaikan soal-soal aplikasi di bawah ini. a.Lima meja dan delapan kursi berharga $115 sedangkan tiga meja dan lima kursi berharga $70. Tentukan harga satu meja dan satu kursi. b.Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan lima kaos. c.Jumlah dua bilangan bulat adalah 55 dan selisih kedua bilangan itu adalah 25. Tentukan kedua bilangan tersebut. d.Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila Marliana membeli 1 pulpen dan 3 pensil maka ia harus membayar Rp4.900,00. Berapa yang harus dikembalikan toko tersebut kepada Marliana jika membeli 2 pulpen dan 8 pensil dengan menggunakan selembar uang kertas dua puluh ribuan. e.Jumlah peserta didik suatu kelas adalah 52 orang, jika banyaknya peserta didik laki-laki adalah 7 orang lebihnya daripada dua kali banyak peserta didik wanita, tentukanlah masing-masing jumlah peserta didik tersebut. (petunjuk : Jika banyak laki-laki x dan banyak wanita y, maka x = 2y + 7) f.Dalam sebuah pesta, banyaknya pengunjung pria dibanding dengan pengunjung wanita adalah 5 : 2. Jika di antara pengunjung pria pergi 5 orang, maka perbandingannya menjadi 2 : 1. Berapakah banyaknya pengunjung pesta tersebut. g.Lima tahun yang lalu umur ayah enam kali umur anaknya. Lima tahun yang akan datang jumlah umur ayah dan anaknya adalah 55 tahun, tentukan umur ayah dan anaknya saat sekarang. Next >