< Previous59BAB II Persamaan dan PertidaksamaanC. Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat ¾menjelaskan pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, ¾menjelaskan akar-akar persamaan kuadrat dan sifat-sifatnya, dan ¾menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat1. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Bentuk umum adalah ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R Perhatikan jenis-jenis persamaan kuadrat berikut ini. •x2 + 5x – 3 = 0, dengan a = 1, b = 5, dan c = -3 (persamaan kuadrat biasa) •2x2 + 5x = 0 , dengan a = 2, b = 5, dan c = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap) •x2 – 6 = 0, dengan a = 1, b = 0, dan c = -6 (persamaan kuadrat murni) Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai disubstitusikan akan memenuhi persamaan tersebut. Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat. Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu: dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan rumus kuadrat (biasa dikenal dengan rumus abc). a. Faktorisasi Dengan menggunakan sifat perkalian pada bilangan riil, yaitu jika dua bilangan riil dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah satu dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan nol atau kedua-duanya sama dengan nol. Jika p × q = 0 maka p = 0 atau q = 0 Contoh 16 Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini. a.x2 + 2x – 8 = 0 c. 2x2 + 5x – 3 = 0 b.2x2 + 3x = 0 d. 5x2 – 3 = 0 Jawab: Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0, terlebih dahulu dicari dua bilangan memenuhi syarat sebagai berikut. Hasil kalinya adalah sama dengan a × c Hasil jumlahnya adalah sama dengan b Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah α dan β, maka α β = a × c dan α + β = b Dengan demikian, bentuk faktornya adalah (ax + α)(ax + β) = 0 dengan membagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat bentuk asal atau mula-mula. 60Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi a. x2 + 2x – 8 = 0 Dari persamaan tersebut didapat a =1, b = 2, dan c = -8 . Cari dua bilangan sehingga Hasil kalinya = 1×(-8) = -8, Hasil penjumlahannya = 2. Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 4 dan -2, sehingga x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = -4 x = 2 b. 2x2 + 3x = 0 Dari persamaan tersebut didapat a = 2, b = 3, dan c = 0 . Carilah dua bilangan sehingga, Hasil kalinya = 2×0 = 0, Hasil penjumlahannya = 3 Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 0 dan 3, sehingga 2x2 + 3x = 0 (2x + 0)(2x + 3) = 0 Membagi dengan 2 pada ruas kiri dan kanan didapat (x + 0)(2x + 3) = 0 x + 0 = 0 atau 2x + 3 = 0 x = 0 atau 2x = -3 x = 23− Untuk mempersingkat dapat juga digunakan cara memfaktorkan langsung (persamaan dengan nilai c = 0). 2x2 + 3x = 0 x(2x + 3) = 0 , )3x2(x+↓ = 0 x = 0 atau 2x + 3 = 0 2x = -3 x = 23− c. 2x2 + 5x – 3 = 0 Dari persamaan tersebut didapat a=2, b = 5, dan c = -3 Cari dua bilangan sehingga Hasil kalinya = 2× (-3) = -6, Hasil penjumlahannya = 5 Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah -1 dan 6, sehingga 2x2 + 5x – 3 = 0 (2x – 1)(2x + 6) = 0 Membagi dengan 2 pada ruas kiri dan kanan didapat (2x – 1)(x + 3) = 0 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0 2x = 1 atau x = -3 x = 21 d. 5x2 – 3 = 0 Untuk mempersingkat gunakan pemfaktoran cara langsung (persamaan dengan b = 0), yaitu 0)7x5)(3x5(=+− 0)3x5(atau0)3x5(=+=− 53x 53x 3x5 atau 3x5−==−== b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan cara sebagai berikut. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. 61BAB II Persamaan dan PertidaksamaanTambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana. Contoh 17 Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-akarnya. a. x2 – 4x – 5= 0 c. x2 – 4 = 0 b. 2x2 – x – 1 = 0 d. x2 + 2x = 0 Jawab: a. x2 – 4x – 5 = 0 x2 – 4x = 5 x2 – 4x + 2)421(−⋅= 5 + 2)421(−⋅ x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2 2)2x(− = 9 x – 2 = 9± x – 2 = 3± x1 = 3 + 2 atau x2 = -3 + 2 = 5 = -1 b. 2x2 – x – 1 = 0 x2 – 21x = 21 x2 – 21x +2)2121(−⋅= 21+ 2)2121(−⋅ 2)41x(− = 16121+ 2)41x(−= 169 41x− = 169± 41x− = 43± x1 = 4143+− atau x2 = 4143+ =21− = 1 c. x2 – 4 = 0 Karena b = 0 maka menambahkan dengan setengah koefisien b dikuadratkan pada kedua ruas tidak memberikan arti pada persamaan tersebut. x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 4± x = 2± x1 = -2 atau x2 = 2 d. x2 + 2x = 0 x2 + 2x + 2)221(⋅= 2)221(⋅ x2 + 2x + 2)1( = 1 2)1x(+ = 1 1x+ = 1± 1x+ = 1± x1 = 11−− atau x2 = 11− = -2 = 0 c. Rumus Kuadrat Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 acxabx2−=+ 62Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi 2222222a4bac)a2b(xabx)ab21(ac)ab21(xabx+=++⋅+=⋅++−− 222a4ac4b)a2bx(−=+ a2ac4bb- xa2ac4ba2b xa4ac4ba2b xa4ac4ba2bx222222−±=−±=−±=−±=+−− 2a4acbbx21.2−±−= Bentuk di atas disebut rumus kuadrat. Contoh 18 Tentukan penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan rumus di atas. a. x2 – 6x + 9 = 0 b. x2 – 1 = 0 Jawab: a. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -6, dan c = 9 gunakan rumus kuadrat 12914(-6)(-6) 2a4acbbx221.2⋅⋅⋅−±=−±=−− samaakarduaMempunyai3xatau3x326 236366 21====−±= b. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 0, dan c = -1 gunakan rumus kuadrat 12(-1)14(0)0 2aca4bbx221.2⋅⋅⋅−±=⋅⋅−±=−− berlawananrealakarduaMempunyai1xatau1x22 240 21==±=±=− 2. Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan. 63BAB II Persamaan dan PertidaksamaanLangkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut. •Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan = 0). •Carilah akar-akar dari persamaan tersebut. •Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut. •Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval tersebut. •Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Contoh 19Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini. a. x2 – 2x – 8 > 0 Jawab: Nyatakan dalam bentuk persamaan. x2 – 2x – 8 = 0 Carilah akar-akarnya x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2 Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut Garis bilangan terbagi dalam tiga interval yaitu Interval kiri, tengah dan kanan. Tentukan tanda pada tiap intervalnya dengan cara mengambil salah satu bilangan yang terdapat pada masing-masing interval, kemudian ujilah tandanya. Untuk mempersingkat penentuan tanda pada tiap interval dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Jika koefisien x2 bertanda positif, maka ruas kanan dari interval diberi tanda positif, bergerak ke kiri (tengah) bertanda negatif dan interval paling kiri kembali bertanda positif. Sebaliknya jika koefisien x2 bertanda negatif, maka ruas kanan dari interval diberi tanda negatif, bergerak ke kiri (tengah) bertanda positif dan interval kiri kembali bertanda negatif. b. 4 – x2 0 Jawab: 4 – x2 0 4 – x2 = 0 -3 0 5 x2 – 2x – 8 + – + Dari tabel didapat -interval yang memuat -3 bertanda (–) -interval yang memuat 0 bertanda (+) -interval yang memuat 5 bertanda(–) Karena pada soal tanda pertidaksamaan lebih dari (>), maka untuk penyelesaian diambil interval yang bertanda positif (+), yaitu x < -2 atau x > 4 HP = {x | x < -2 atau x > 4, x ∈ R } (2 – x)(2 + x) = 0 2 – x = 0 atau 2 + x = 0 x = 2 atau x = -2 Karena koefisien x2 bertanda (–), maka interval kanan bertanda (–) berganti ke kiri (+) kemudian (–) lagi. -2-+2- Karena pada soal tanda pertidaksamaan lebih dari sama dengan (≥), maka untuk penyelesaian diambil interval yang bertanda (+). HP = {x | -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ R } Contoh 20 Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 cm. Carilah panjang dari kedua sisi siku-sikunya apabila panjang sisi siku-siku yang pertama lebih panjang 14 cm dari yang lain. -2464Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi Jawab: Ambil x dan x + 14 sebagai panjang sisi siku-sikunya, maka x2 + (x+14)2 = 342 (Teorema Pythagoras) x2 + 14x – 480 = 0 (x + 30)(x – 16) = 0 x = -30 atau x = 16. Jadi, sisi siku-siku tersebut adalah 16 dan 16 + 14 = 30. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi. 1.x2 – 7x + 6 = 0 11. 2x2 + 7x + 3 = 0 2.x2 – 2x + 1 = 0 12. 2x2 + 5x + 2 = 0 3.x2 – 4 = 0 13. 2x2 + 5x + 3 = 0 4.x2 + 3x – 4 = 0 14. 3x2 – 2x – 8 = 0 5.x2 + x – 6 = 0 15. 9x2 – 26x + 16 = 0 6.3x2 – 4x = 0 16. 6x2 – 11x + 3 = 0 7.5x2 – 6 = 0 17. 3x2 + 2x = 21 8.x2 + 4x + 3 = 0 18. 9x2 – 1 = 0 9.x2 + 3x – 10 = 0 19. 4x2 = 2x + 12 10.2x2 + x – 1 = 0 20. 10x – x2 = 0 Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna. 21. x2 – 3x – 10 = 0 31. 2x2 + 2x – 3 = 0 22. 4x2 – 12x + 8 = 0 32. 4x2 + 4x – 15 = 0 23. x2 + 4x – 12 = 0 33. 2x2 + 7x – 4 = 0 24. x2 + 4x + 4 = 0 34. 2x2 + 5x – 3 = 0 25. x2 + 2x = 4 35. x2 – 6x + 9 = 0 26. x2 – 2x = 0 36. 2x2 – 5x – 3 = 0 27. x2 – 4 = 0 37. -x2 + 2x = 0 28. -x2 + 2x + 10 = 0 38. 3x2 – 4x + 1 = 0 29. 2x2 + 11x + 9 = 0 39. x2 – x – 2 = 0 30. x2 – 2x – 15 = 0 40. x2 + 2x + 1 = 0 Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan soal-soal di bawah ini. 41. x2 – 6x + 8 = 0 46. 8x2 + 2x – 3 = 0 42. 3x2 – 5x – 2 = 0 47. 3x2 – x = 4 43. 6x2 – 5x – 6 = 0 48. 6x2 – 2x = 0 44. 2x2 + 7x – 5 = 0 49. x2 – 9 = 0 45. 3x2 – 8x – 3 = 0 50. x2 – 2x = 0 51. Salah satu akar persaman kuadrat x2 – 2x + c = 0 adalah 1, tentukan nilai c dan akar yang lainnya. 52. Jika x=1 memenuhi persamaan (k – 1)x2 +(3k – 1)x = 3k, tentukan k dan akar keduanya dari persamaan tersebut. 53. Akar 4x2 – 4x = m2 – 2m adalah 4, hitunglah nilai m. 65BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan54. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dari bahan seluas 160 cm2. Tinggi kotak adalah 3 cm dan sisi alas kotak berbentuk persegi. Tentukan panjang sisi alasnya Susunlah sehingga berbentuk persamaan kuadrat, kemudian carilah akar-akarnya pada soal nomor 55 – 58. 55. 11x3x3x26x=++−−− 57. 65x8x6=−− 56. x1135x142−=− 58. 2x + 1 – 02x14=+ Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini. 59.x2 + 2x – 3 < 0 65. 2x2 + 3x > 2 71. x2 – 6x – 40 < 0 60.x2 – x – 20 > 0 66. 5 + 3x2 ≥ x – x2 72. 3x2 + 2x ≤ 1 61.x2 ≤ 8x – 7 67. -2x2 + 7x – 5 ≤ 0 73. x2 + 2x ≥ - 3 62.6x – x2 > 1 68. x2 – 3x – 88 > 0 74. 5x2 > 2x + 3 63.- x2 + 11x + 26 > 0 69. -x2 – 7x + 44 > 0 75. 2x2 +3x – 35 < 0 64.5x2 + x < 6 70. x2 > 5x – 6 76. x2 – 10x + 25 > 0 3. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 – 4ac. Oleh karena itu, b2 – 4ac disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan D dimana D = b2 – 4ac. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat: a.jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda; b.jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar; c.jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar imajiner); d.jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan. Contoh 21 Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya terlebih dahulu. a. x2 + 4x + 4 = 0 b. x2 + x + 2 = 0 c. x2 – 2x – 3 = 0 Jawab: a. Dari persamaan di- peroleh a = 1, b = 4, dan c = 4 D = b2 – 4ac = 42 – 4 ×1×4 = 16 – 16 = 0 Dua akar sama atau kembar. b. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 1, dan c = 2 D = 12 – 4×1×2 = 1 – 8 = -7 < 0 Tidak mempunyai akar riil (akar imajiner). c. Dari persamaan diperoleh a =1, b = -2, dan c = -3 D = (-2)2 – 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 > 0 D merupakan bilangan kuadrat murni. Persamaan mempunyai dua akar rasional yang berbeda. 66Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi Contoh 22 Tentukan harga k agar persamaan kuadrat x2 + 2 x + k = 0 mempunyai akar kembar dan akar persamaan kuadratnya. Jawab: Dari persamaan a = 1, b = 2, dan c = k Syarat agar akarnya kembar adalah D = 0 D = b2 – 4ac = 22 – 4×1×k = 4 – 4k = 0 -4k = -4 ⇔ k = 1 x2 + 2 x + 1 = 0 (x + 1)(x + 1) = 0 x + 1 = 0 atau x + 1 = 0 x = -1 x = -1 4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut. 2a4acbbx21−−−= atau 2a4acbbx22−+−= Jika kedua akar tersebut dijumlahkan dan dikalikan maka hasilnya danab- b-b 2a4acbb2a4acbbxx2a-2221==−++−−=+−− ac a4ac4 4a)ac4(bb 2a4acbb2a4acbbxx22222221==−−=−+⋅−−=⋅−− Dengan demikian acxxdanabxx2121=⋅−=+ Contoh 23 Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan x2 + 2 x – 3 = 0, tentukanlah a. x1 + x2 c. 2221xx+ b. 21xx⋅ d. 221221xxxx+ 67BAB II Persamaan dan PertidaksamaanJawab: Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 2, dan c = -3. a. x1 + x2 = 212ab−−−== c. 212212221xx2)xx(xx−+=+= (-2)2 – 2(-3) = 10 b. 21xx⋅ = 313ac−−== d. 221221xxxx+ = )xx(xx2121+= -3(-2) = 6 Contoh 24 Salah satu akar x2 + 3 x + k = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai k. Jawab: Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 3, dan c = k. Jika akar-akar tersebut x1 dan x2, maka x1 = 2 x2 (salah satu akarnya dua kali akar yang lain). Dengan rumus, maka jumlah akar-akarnya adalah x1 + x2 = 313ab−−−== 2x2 + x2 = -3 3x2 = -3 x2 = -1 sehingga x1 = 2 x2 = )1(2−⋅ = -2 Dengan rumus, hasil kali akar-akarnya adalah 21xx⋅= k1kac== -2.(-1) = k k = 2 Contoh 25 Hitunglah nilai k agar persamaan 2x2 + k x + k = 0 mempunyai akar-akar berikut. a. Berkebalikan b. Berlawanan Jawab: a. Dari persamaan a = 2, b = k, dan c = k. Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2, maka akar-akar berkebalikan 21x1x= atau x1 x2 = 1 x1 x2 = 12kac== 12k= ⇔ k = 2 b. Akar-akar berlawanan x1 = - x2 x1 + x2 = ab− -x2 + x2 = ab− = 2k− 0 = 2k− ⇔ k = 0 D. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat 1. Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Bentuk umumnya adalah ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R 68Matematika X SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi 2. Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut. a. Faktorisasi dengan menggunakan sifat, jika qp×= 0 maka p = 0 atau q = 0 b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan kita manipulasi sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana. c. Rumus Kuadrat, yaitu 2a4acbbx21.2−±−= 3. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Langkah-langkah menentukan HP nya adalah sebagai berikut. •Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat dan cari akarnya. •Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut dan tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval tersebut. •HP diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. 4.Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D dengan D = b2 – 4ac. 5.Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a.Jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda. b.Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar. c.Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil (akar imajiner). d.Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan. 6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku rumus berikut. acxxdanabxx2121=⋅−=+ 1. Selidikilah sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini. a. x2 – 2x + 1 = 0 d. 2x2 – 2x = 0 b. x2 + 4x + 3 = 0 e. x2 – 10 = 0 c. x2 + x + 1 = 0 f. 3x2 – 2x + 10 = 0 2.Dengan menggunakan pada soal nomor 1, tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Next >