< Previous120Buku Guru Kelas VII SMP/MTs3. 3 kelompok yang merupakan himpunan adalaha. Kelompok siswa yang memakai kacamatab. Kelompok siswa anggota OSISc. Kelompok bilangan antara 5 sampai 20 3 kelompok yang bukan merupakan himpunana. Kelompok siswa yang pandaib. Kelompok kota besar di Indonesiac. Kelompok makanan yang lezat4. Tulislah anggota dari himpunan berikuta. Anggota himpunan kendaraan roda empat adalah {mikrolet, mobil pribadi, mobil box, taksi }b. Anggota warna lampu lau lintas adalah {hijau, kuning, merah}c. Anggota bilangan asli kurang dari 10 adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}d. Anggota bilangan asli kurang dari 8 adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2.1.2. Penyajian HimpunanHimpunan dapat disajikan dengan 3 cara, yaitu 1. Menyebutkan anggota Himpunan (enumerasi) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik (“…”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”. Contoh A= {3, 5, 7} B= {2, 3, 5, 7} C= {a, i, u, e, o} D= {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}2. Menuliskan sifat anggota Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada Contoh 2.2 dan bandingkan dengan contoh di bawah ini. Contoh A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8. B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10. C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin. D adalah himpunan bilangan bulat.121MATEMATIKA3. Notasi pembentuk Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x|P(x)} dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5}. Bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu A={x|x < 6, dan x ∈ Asli}. Lambang {x|x < 6, dan x ∈ Asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan x, demikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}. Tetapi, kalau kita sudah memahami dengan baik, lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6” Contoh A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil} (dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x, demikian sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 8, serta x adalah bilangan ganjil). B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}. C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad Latin}.AyoKita AmatiGuru meminta siswa untuk membaca dan mencerrnati cara menyajikan himpunan dengan 3 cara, termasuk contoh penyajian himpunan. Disarankan guru tidak memberikan penjelasan apapun, agar siswa mencoba memahami cara penyajian himpunan dengan mengkontruksi sendiri pemahamannya.Ayo KitaMenanya??Setelah membaca dan mencermati 3 model penyajian himpunan, tentu ada hal yang belum dipahami dan belum dimengerti siswa, Guru meminta siswa untuk menyampaikan pertanyaan yang berkaitan dengan hal yang masih belum dipahami dan belum mengerti. Alternatif pertanyaan yang diharapkan adalah:1. Apakah semua himpunan dapat disajikan dengan 3 cara tersebut?2. Apakah himpunan yang disajikan cara 1 dapat dapat disajikan dengan cara 2 dan 3 secara tunggal? bagaimana caranya?122Buku Guru Kelas VII SMP/MTs3. Apakah himpunan yang disajikan cara 2 dapat disajikan dengan cara 1 dan 2, secara tunggal? bagaimana caranya?4. Apakah himpunan yang disajikan cara 3 dapat disajikan dengan cara 1 dan 2 secara tunggal? bagaimana caranya? Apabila pertanyaan siswa masih belum mengarah pada alternatif pertanyaan tersebut, berilah pertanyaan pancingan dan berilah sedikit penjelasan agar pertanyaan sesuai dengan yang diharapakan guru.Ayo KitaMenggali Informasi+=+Agar informasi pemahaman konsep penyajian himpunan pada siswa lebih lengkap, siswa diminta untuk mencoba menyelesaikan Ayo Kita Menggali Informasi. Guru memberikan bantuan secukupnya bagi siswa yang membutuhkan. Alternatif Jawaban Ayo Kita Menggali Informasi adalah:1. Himpunan A = {bilangan cacah kurang dari 5}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya maka A = {0, 1, 2, 3, 4} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan maka A = {x|x < 5, x ∈ bilangan bulat}. Himpunan B ={x|–2 < x < 3, x ∈ bilangan bulat}, jika disajikan dengan menyebutkan anggotanya, maka B = {–1, 0, 1, 2} dan jika disajikan dengan menyebutkan sifat keanggotaannya adalah B = {bilangan bulat lebih dari –2 dan kurang 3}. Himpunan C = {2, 4, 6, 8} jika disajikan dengan menyebutkan sifat keanggotaannya adalah C = {bilangan asli genap yang kurang dari } atau C = {bilangan cacah genap yang kurang dari 10} atau C = {empat bilangan genap asli yang pertama} dan jika disajikan dengan notasi pembentuk himpunan adalah C ={x|1 < x < 9, x ∈ bilangan bulat genap}, atau C ={x|2 ≤ x ≤ 8, x ∈ bilangan asli genap}. Himpuan bilangan real, tidak bisa dinyatakan dengan penyajian menyebutkan anggota dari suatu himpunan, tetapi bisa disajikan dengan notasi pembentuk himpunan dan disajikan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya.Ayo KitaMenalarGuru meminta siswa untuk mengerjakan Ayo Kita Menalar dengan cara berdiskusi kelompok yang terdiri dari 3 – 4 siswa. Alternatif jawaban Ayo Kita Menalar adalah sebagai berikut 1. Penyajian himpunan P dengan notasi pembentuk himpunan adalah P = {x|x < 8, x ∈ bilangan prima}. Penyajian himpunan P dengan cara menuliskan sifat keanggotaannya adalah P = {empat bilangan prima yang kurang dari 10}.123MATEMATIKA2. Ya, himpuan yang disajikan dengan menyebutkan anggotanya dapat disajikan dengan beberapa cara menyajikan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya, contohnya seperti pada bagian 1 dan tidak berlaku sebaliknya, himpunan yang disajikan dengan menuliskan sifat keanggotaannya hanya dapat disajikan dengan satu cara dengan menyebutkan anggotanya. 3. Ya, himpuan yang disajikan dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan, hanya bisa disajikan dengan satu cara dengan menyebutkan anggotanya. Tidak, himpunan yang disajikan dengan cara menyebutkan anggotanya dapat disajikan dengan beberapa cara menuliskan sifat keanggotaannya, Contoh A = {1, 2, 3, 4} dapat disajikan dengan beberapa cara dengan menuliskan sifat keanggotaannya, yaitu A = {x|x < 5, x ∈ bilangan asli} atau A = {x|0 < x < 5, x ∈ bilangan cacah} atau {x|1 ≤ x ≤ 4, x ∈ bilangan asli}. Tidak, misalnya himpunan bilangan real tidak dapat dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya.Ayo KitaBerbagiGuru meminta siswa untuk menukarkan hasil jawaban Ayo Kita Menalar dan membahasnya bersama-sama dengan siswa. Guru memberikan penguatan tentang konsep menyajikan himpunan dengan 3 cara, bila perlu memberikan contoh lain yang berbeda tentang cara menyajikan himpunan dengan 3 cara.Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan 2, boleh dikerjakan semua atau boleh memilih beberapa saja atau boleh juga ditambah dengan kreatifitas guru yang disesuaikan dengan kebutuhan.Ayo Kita!?!?Berlatih2.2Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.21. Tulislah anggota-anggota dari himpunan berikuta. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}c. C = {2}d. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}e. E = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}f. F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}124Buku Guru Kelas VII SMP/MTs2. Diketahui A = {bilangan ganjil yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30}a. A = {x|x < 30, x ∈ bilangan asli kelipatan 3} b. {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} 3. Lengkapilah tabel berikut iniNoDinyatakan dengan menyebutkan anggotanyaDinyatakan dengan menuliskan sifat keanggotaannyaDinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan1P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}P = {bilangan asli yang kurang dari 9} atau P = {delapan bilangan asli pertama}P = {x|x < 9, x ∈ bilangan asli} atau P = {x|0 < x < 9, x ∈ bilangan cacah}2K = {2, 3, 5, 7, 11, 13}K = {bilangan prima kurang dari 15} atau K = {enam bilangan prima pertama}K = {x|1 < x < 15, x ∈ bilangan prima} atau K = {x|x < 15, x ∈ bilangan prima}3L = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}L = {bilangan bulat lebih dari –5 dan kurang dari 5} atau L = {bilangan bulat lebih dari –5 dan kurang atau sama dengan 4}L = {x| −5 < x ≤ 4, x ∈ bilangan bulat}4M = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}M = {bilangan asli ganjil yang kurang dari 16}M = {x|x < 16, x ∈ bilangan asli ganjil} atauM = {x|0 < x < 16, x ∈ bilangan cacah ganjil}5N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}N = {bilangan asli lebih dari dan kurang dari atau sama dengan 12} atau N = {bilangan antara 3 sampai 13}N = {x| 3 < x ≤ 12, x ∈ bilangan asli}125MATEMATIKANoDinyatakan dengan menyebutkan anggotanyaDinyatakan dengan menuliskan sifat keanggotaannyaDinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan6O ={1, 2, 3, 4, 8, 12, 24}O ={bilangan asli faktor dari 24 selain 6} O = {x|x ≤ 24, x ∈ bilangan asli selain 6, x ∈ faktor dari 24}7P = {1,4, 9, 16, 36}P ={lima bilangan kuadrat yang pertama}P = {x|x ≤ 24, x ∈ bilangan asli selain 6, x ∈ faktor dari 24}8Q= {1, 4, 16, 36, 49 }Q ={lima bilangan kuadrat yang pertama selain 9}Q = {x| x = y2, y ∈ A, y ≠ 3}2.1.3. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta AyoKita AmatiPembelajaran dimulai dengan siswa membaca Masalah 2.1 tentang himpunan kosong dan himpunan semesta sekaligus. Berilah waktu yang cukup agar siswa dapat memahami konsep himpunan kosong dan himpunan semesta. Guru dapat memberikan contoh lain tentang himpunan kosong dalam kehidupan sehari-hari. Ayo KitaMenanya??Arahkan agar siswa bertanya tentang konsep himpunan kosong dan himpunan semesta. Pertanyaan alternatif yang diharapkan adalah:1. Apa himpunan kosong memiliki himpunan semesta.2. Apakah suatu himpunan adalah himpunan semesta dari dirinya sendiri.Jika ada siswa yang belum jelas dengan pemahaman himpunan kosong dan himpunan semesta, mintalah siswa lain untuk mencoba menjelaskan dan memberikan contoh tentang himpunan kosong dan himpunan semesta.126Buku Guru Kelas VII SMP/MTsAyo KitaMenalarGuru meminta siswa memikirkan Ayo Kita Menalar dengan berdiskusi kelompok. Alternatif jawaban Ayo Kita Menalar adalah sebagai berikut1. Ya, semua himpunan adalah himpunan semesta dari himpunan kosong.2. Jawaban siswa tersebut benar, karena himpunan bilangan bulat memuat himpunan A = {1, 3, 5, 7}, dan himpunan B = {2, 4, 6, 8}, himpunan semesta lainnya adalah himpunan bilangan asli, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan asli kurang dari 10, dan masih banyak lagi lainnya3. Banyaknya anggota himpunan semesta tidak tentu, tergantung dari banyak anggota himpunan yang dibicarakan dan tidak kosong4. Elemen himpunan semesta dapat berupa himpunan dan dapat berupa bukan suatu himpunan Guru memberikan penguatan tentang konsep himpunan kosong, yaituHimpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota yang dinotasikan dengan ∅ atau { }. Himpunan semesta, yaitu himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan dan biasanya dilambangkan dengan S.Himpunan semesta dari suatu himpunan tidak hanya tunggal,misalnya:Himpunan semesta yang mungkin dari A = {1, 3, 5, 7} adalah a. S = {1, 3, 5, 7}b. S = {bilangan ganjil}c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}d. S = {bilangan cacah}e. S = {10 bilangan asli pertama}Ayo KitaBerbagiGuru meminta siswa untuk berdiskusi hasil kegiatan menalar. Bila perlu tunjuklah salah satu siswa untuk membacakan jawaban Ayo Kita Manalar. Berikan penjelasan yang cukup dan penguatan tentang konsep himpunan kosong dan himpunan semesta.Mintalah siswa untuk memahami contoh himpunan semesta dan memberikan contoh lain agar lebih kuat pemahamannya tentang konsep himpunan semesta.127MATEMATIKA2.1.4 Diagram VennPembelajaran dimulai dengan mengingat kembali konsep himpunan semesta dalam gambar diagram Venn, dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan contoh himpunan semesta dalam kehidupan sehari-hari. Ada 4 macam diagram Venn yaitu:1. Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A = {1, 2, 3}, dan himpunan B ={ 4, 5, 6} adalah sebagai berikut.S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B2. Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3, 4} himpunan B ={ 4, 5, 6, 7} adalah sebagai berikut.S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B3. Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3} himpunan B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.S• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B128Buku Guru Kelas VII SMP/MTs4. Diagram Venn dari himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, himpunan A={1, 2, 3, 4} himpunan B ={ 1, 2, 3, 4} adalah sebagai berikutS• 8• 7• 9A• 1• 2• 3• 6• 4• 5BAyoKita AmatiSelanjutnya siswa diminta untuk mengamati 4 macam bentuk-bentuk diagram Venn, dan mencari perbedaan diantara keempat bentuk tersebut. Berikan waktu yang cukup agar siswa mampu membedakan 4 macam bentuk diagram Venn dengan baik.Bila perlu mintalah siswa untuk berdiskusi dalam mengamati 4 macam bentuk-bentuk diagram Venn. Berikan penjelasan jika siswa membutuhkan penjelasan untuk mengamati 4 macam bentuk-bentuk diagram Venn.Ayo KitaMenanya??Setelah mengamati, tentu ada siswa yang masih belum mengerti dan belum faham 4 bentuk diagram Venn tersebut, berilah kesempatan kepada siswa untuk mengungkapkan pertanyaan agar lebih jelas, contoh pertanyaannya adalah.1. Mengapa pada diagram Venn bentuk kedua angka 4 berada ditengah-tengah himpunan A dan himpunan B.2. Bagaimana jika ada 3 himpunan yang saling berhubungan satu dengan lainnyaJika siswa belum mengajukan pertanyaan, coba berikan contoh pertanyaan yang mengarah pada membuat diagram Venn dan membaca diagram Venn. Salah satu kiat agar siswa mengajukan pertanyaan, coba posisikan guru sebagai siswa.Ayo KitaMenggali Informasi+=+ Dalam menggali informasi diharapkan siswa mampu membaca diagram Venn dengan menyebutkan anggotanya, pada diagram Venn berikut:129MATEMATIKAS• 8• 7A• 1• 2• 3• 6• 4• 5B Berdasarkan diagram tersebut dapat dituliskan anggota dari himpunan berikut:a. Himpunan S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b. Himpunan A ={1, 2, 3, 4}c. Himpunan B ={3, 4, 5, 6}d. Himpunan C yang anggotanya menjadi anggota A dan B, maka C ={3, 4}e. Himpunan D yang anggotanya menjadi anggota A atau B, maka D ={1, 2, 3, 4, 5, 6}f. Himpunan E yang anggotanya tidak menjadi anggota A maupun B, maka E = {7, 8}g. Himpunan F yang anggotanya hanya menjadi anggota A, maka F ={1, 2}h. Himpunan G yang anggotanya hanya menjadi anggota B, maka G ={5, 6}Guru dapat meminta siswa untuk membaca bentuk diagram Venn yang lain.Ayo KitaMenalarGuru meminta siswa untuk menyelesaikan “Ayo Kita Menalar” dengan mandiri dan guru memantau dan memberikan bantuan kepada siswa yang mengalami kesulitan dalam menyelesaikan “Ayo Kita Menalar”Alternatif jawaban ayo kita Menalar adalah:1. Perbedaan antaraa. Diagram Venn bentuk 1 dan 2 adalah pada diagram Venn bentuk 1 anggota himpunan A dan anggota himpunan B tidak ada yang sama dan saling terpisah, sehingga kurva himpunan A dan kurva himpunan B saling terpisah, sementara diagram Venn bentuk 2 ada satu anggota himpuan A yang juga merupakan anggota dari himpunan B yaitu angka 4, sehingga bentuk kurva himpunan A dan himpunan B menyambung b. Pada diagram Venn Bentuk 1 anggota himpunan A dan anggota himpunan B tidak ada yang sama dan saling terpisah, sehingga kurva himpunan A dan kurva himpunan B saling terpisah, sementara diagram Venn bentuk 3 semua anggota himpunan A menjadi anggota himpunan B, sehingga kurva himpunan A berada di dalam kurva himpunan B.Next >