< Previous150Buku Guru Kelas VII SMP/MTs13. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan-himpunan berikuta. {a}b. {a, b}c. {a, {∅}}d. {∅, {∅},{∅, {∅}}}14. Himpunan A = {1, 3, 33, 61, 83, 671, 2013} Banyaknya himpunan bagian dari A yang tak kosong adalah 127 Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 2, 4}. Banyaknya langkah yang diperlukan untuk memastikan bahwa A = B adalah 5 langkah, yaitu: 1. 1 ∈ A, apakah 1 ∈ B?2. 2 ∈ A, apakah 2 ∈ B?3. 3 ∈ A, apakah 3 ∈ B?4. 4 ∈ A, apakah 4 ∈ B?5. 5 ∈ A, apakah 5 ∈ B? Ternyata banyaknya langkah tersebut sama dengan banyaknya anggota himpunan A atau himpunan B.egiatanK 2.3Operasi Himpunan Dalam Kegiatan 2.3 ini siswa akan belajar operasi himpunan itu mencakup: (1) Irisan, (2) Gabungan, (3) Selisih, dan (4) Komplemen. Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, ada beberapa hal yan harus disiapkan guru, antara lain Penggaris dan Jangka untuk membuat diagam Venn serta kapur atau spidol warna. Dalam Kegiatan 2.3 ini diharapkan siswa mampu1. Melakukan operasi irisan dari dua atau tiga himpunan. 2. Melakukan operasi gabungan dari dua atau tiga himpunan. 3. Melakukan operasi komplemen dari suatu himpunan.4. Melakukan operasi selisih dari dua himpunan.151MATEMATIKA2.3.1. Irisan (Intersection)AyoKita AmatiSiswa diminta untuk mengamati dengan cermat irisan dari dua himpunan pada 4 model diagram Venn yang terdapat pada Tabel 2.1 di Buku Siswa. Biarkan siswa untuk mengamati sendiri tanpa ada penjelasan dari guru, agar mereka berfikir dan mengkontruksi sendiri pengetauan tentang irisan dari dua himpunan dari empat bentuk yang ada, termasuk definisi irisan dari dua himpunan.Ayo KitaMenanya??Berilah motivasi, contoh pertanyaan, dan pertanyaan yang menggiring kepada pertanyaan yang diharapkan, agar siswa mampu merumuskan pertanyaan yang berkaitan dengan irisan dari dua himpunan.Alternatif pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Mengapa untuk A saling asing (disjoint) dengan B hasilnya adalah himpunan kosong?2. Mengapa jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A? Apakah jika B ⊂ A, maka A ∩ B = B?3. Bagaimana irisan dari dua himpunan jika ada salah satu himpunan anggotanya adalah himpunan kosong?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Dalam kegiatan ini siswa diminta untuk memahami soal cerita kontekstual yang berkaitan dengan irisan himpunan. Mintalah siswa untuk memahami permasalahan dan alternatif pemecahannya tersebut dengan cermat dan teliti. Untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa, guru dapat memberikan pertanyaan dari masalah tersebut dan memberikan permasalahan serupa untuk dikerjakan siswa.Berikutnya siswa diminta untuk mencermati kembali Contoh 2.10 tentang irisan dari dua himpunan yang himpunan satu merupakan himpunan bagian dari himpunan yang lain.Guru dapat memberikan penguatan lagi tentang definisi dari irisan dari dua himpunan, yaitu: Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∩ B. Irisan dua himpunan dinotasikan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.152Buku Guru Kelas VII SMP/MTsAyo KitaMenalarDalam kegiatan ini siswa diminta untuk kerja mandiri atau kelompok dua orang satu bangku. Dengan melakukan kegiatan menalar, diharapkan siswa mampu untuk mennetukan anggota dari irisan dua himpunan, mampu menggambar diagram Venn dari irisan dua himpunan, dan mampu menyelesaikan soal cerita dari irisan dua himpunan. Alternatif jawaban dari kegiatan ini adalah: 1. Agar lebih mudah, tentukan dulu semua anggota dari himpunan yang diketahui, yaitu:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7 }C = { 7, 8, 9, 10, 11}. a. Gambarlah diagram Venn dari himpunan tersebut adalah: A• 7BCS• 11• 12• 10• 8• 9• 6• 4• 2• 1• 5• 3b. Anggota dari A ∩ B = {3, 5, 7} A ∩ C = {7, 9} B ∩ C = {7} A ∩ B ∩ C = {7}2. Dalam suatu kelas terdapat 35 siswa. Setelah ditanya ternyata ada 18 siswa gemar minum susu, ada 20 siswa gemar minum teh, dan ada 3 siswa tidak gemar keduanya. a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan diatasb. Tentukan banyaknya siswa yang gemar minum susu dan teh153MATEMATIKABanyak siswa yang suka minum susu dan teh adalah n(S) = n(A) – x + n(A ∩ B) + n(B) – x + n(D)35 = 18 – x + x + 20 – x + 335 = 18 + 20 + x + 335 = 41 – x x = 41 – 35 x = 6Jadi banyaknya siswa yang gemar minum susu dan teh adalah 6 siswaAyo KitaBerbagiSiswa diminta untuk mencocokkan jawaban kegiatan menalar dengan teman sebangku atau kelompok lain, sehingga akan diperoleh jawaban yang benar. SAB• 18 – x • x• 20 – x Ayo Kita!?!?Berlatih2.7Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.71. A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},B = {1, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3, 4}, D = {4, 5, 6, 7}, maka anggota-anggota dari a. A ∩ B = {3, 5, 7}b A ∩ C = {1, 2, 3, 4}c. B ∩ C = {1, 3}d. C ∩ D = {4}e. B ∩ D = {5, 7}2. Diketahui A ={bilangan asli kurang dari 20} B = {bilangan asli genap kurang dari 15} C ={bilangan asli ganjil kurang dari 10} D ={bilangan asli lebih dari 7 dan kurang dari 15}a. A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 } B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 } C ={1, 3, 5, 7, 9} D ={8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}154Buku Guru Kelas VII SMP/MTsb. B ∩ C = { } B ∩ D ={8, 10, 12, 14} C ∩ D ={ 9} c. Gambar diagram Venn-nya B• 7CDA• 11• 13• 10• 8• 9• 6• 4• 2• 1• 5• 3• 12• 17• 16• 18• 15• 14• 193. Diketahui S = {x│–3 ≤ x ≤ 6 , x ∈ B} P = {x│0 ≤ x ≤ 5, x ∈ B} Q = {x│–2 ≤ x ≤ 2, x ∈ B} R ={x│–1 ≤ x ≤ 1, x ∈ B}a. S = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}b. P = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Q = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} R = {–1, 0, 1}c. P ∩ Q = {0, 1, 2}d. P ∩ R = {0, 1}e. Q ∩ R = { –1, 0, 1}f. P ∩ Q ∩ R = {0, 1}g. Gambar diagram Venn sebagai berikut P• 0QRS• –3• –1• –2• 6• 4• 2• 1• 5• 3 4. Dalam suatu kelas terdapat 36 siswa. Diantaranya ada 18 siswa gemar pelajaran Matematika, 20 siswa gemar Bahasa Indonesia, dan 2 siswa tidak gemar keduanya.155MATEMATIKAa. Misalkan A adalah himpunan siswa yang gemar Matematika dan B adalah himpunan siswa yang gemar Bahasa Indonesia.SAB• 18 – x • 2• x• 20 – x b. Banyak siswa yang gemar keduanya adalah 18 – x + x + 20 – x + 2 = 36 18 + 20 – x = 36 38 – x = 36 x = 2 Jadi banyaknya siswa yang suka keduanya adalah 2 siswa. 5. Di antara warga RT 05 yang terdiri atas 50 orang, ternyata 30 orang berlangganan majalah, 25 orang berlangganan koran, dan 5 orang tidak berlangganan keduanya.a. Gambar diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas adalah : Misalnya P adalah himpunan warga yang berlangganan majalah Q adalah himpunan warga yang berlangganan koran SPQ• 30 – x • 5• x• 25 – x b. Banyak warga RT 05 yang berlangganan koran dan majalah adalah 50 = 30 – x + x + 25 – x + 5 50 = 30 + 25 + x + 5 50 = 60 – x x = 60 – 50 x = 10 Jadi banyaknya warga RT 05 yang berlangganan koran dan majalah adalah 10 orang156Buku Guru Kelas VII SMP/MTs2.3.2. Gabungan (Union)AyoKita AmatiSiswa diminta mengamati kembali tabel 2.1 bagian kolom gabungan Tabel 2.1 Gabungan dari dua himpunan NoHimpunan-himpunanHubungan A BDiagram VennGabungan 1S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6}A saling asing (disjoint) dengan BS• 7• 8• 9AB• 1• 2• 3• 5• 4• 6A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}2S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6, 7}A berpotongan (intersected) dengan BS• 8• 9AB• 1• 7• 2• 3• 5• 4• 6A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 3S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}A himpunan bagian (subset) dari BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6}= B4S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4}A sama dengan BS• 7• 8• 9BA• 1• 2• 3• 5• 4• 6A ∩ B ={1, 2, 3, 4 } = A = B157MATEMATIKASiswa diminta untuk mengamati dengan cermat gabungan dari dua himpunan dari 4 model diagram Venn di bawah ini. Biarkan siswa untuk mengamati sendiri tanpa ada penjelasan dari guru, agar mereka berfikir dan mengkontruksi sendiri pengetauan tentang gabungan dan perbedaannya dengan irisan dari dua himpunan dari empat bentuk yang ada, termasuk definisi irisan dari dua himpunan.Ayo KitaMenanya??Berilah motivasi, contoh pertanyaan, dan pertanyaan yang menggiring kepada pertanyaan yang diharapkan, agar siswa mampu merumuskan pertanyaan yang berkaitan dengan gabungan dari dua himpunan. Pertanyaan yang diharapkan adalah:1. Apa perbedaan antara gabungan dan irisan dari dua himpunan?2. Mengapa untuk himpunan A = B hasil dari gabungan sama dengan irisan?3. Apakah A ∪ B sama dengan A + B?Ayo KitaMenggali Informasi+=+Dalam kegiatan ini siswa diminta untuk memahami Soal 2.10 dan 2.11 tentang soal cerita kontekstual yang berkaitan dengan gabungan dua himpunan. Mintalah siswa untuk memahami permasalahan dan alternatif pemecahannya tersebut dengan cermat dan teliti. Untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa, guru dapat memberikan contoh soal serupa untuk dikerjakan siswa.Guru dapat memberikan penguatan lagi tentang definisi dari gabungan dari dua himpunan, yaitu:Misalkan S adalah himpunan semesta, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B. Gabungan dua himpunan ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.Ayo KitaMenalarDalam kegiatan ini siswa diminta untuk kerja kelompok yang terdiri dari 4 – 5 siswa. Dengan melakukan kegiatan menalar, diharapkan siswa mampu untuk menentukan 158Buku Guru Kelas VII SMP/MTsanggota dari gabungan dua himpunan, mampu membuktikan bahwa ada hubungan antara kardinalitas himpunan dengan irisan dan gabungan dari dua himpunan, mampu menggambar diagram Venn dari gabungan dua himpunan, dan mampu menyelesaikan soal cerita dari gabungan dua himpunan. Alternatif jawaban dari kegiatan ini adalah 1. Hubungan antara kardinalitas himpunan dengan gabungan dan irisan adalah sebagai berikut: Perhatikan kedua diagram Venn berikut. (a)(b)ABS• 5• 7• 9• 17• 15• 13• 11• 1• 3• p• s• o• p• q• rASBGambar 2.14 Diagram Venn (a) dan (b) Berdasarkan Gambar 2.14 a dan b diperoleh n(A) = 5 n(A) = 4 n(B) = 6 n(B) = 2 n(A ∩ B) = 2 n(A ∩ B) = 0 n(A ∪ B) = 9 n(A ∪ B) = 6 Ternyata: Ternyata: 9 = 5 + 6 – 2 6 = 4 + 2 – 0 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), sehingga dapat disimpulkan Untuk A dan B himpunan berlaku: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)2. Hubungan antara irisan dan gabungan dari 3 himpunan dapat dilihat pada gambar berikut.159MATEMATIKA A• 7BCS• 11• 13• 10• 8• 9• 6• 4• 2• 1• 5• 3• 12• 17• 16• 18• 15• 14Gambar 2.16 Diagram Venn himpunan A, B, dan C Berdasarkan Gambar 2.16, diperoleh n(A) = 7 n(B) = 9 n(C) = 10 n(A ∩ B) = 3 n(A ∩ C) = 3 n(B ∩ C) = 4 n(A ∩ B ∩ C) = 2 n(A ∪ B ∪ C) = 18 Ternyata: 18 = 7 + 9 + 10 – 3 – 3 – 4 + 2n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)Berdasarkan keterangan di atas diperoleh Informasi Misalkan A, B, dan C adalah himpunan, maka n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩ B ∩ C)3. Agar lebih mudah, tentukan dulu semua anggota dari himpunan yang diketahui, yaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 7} C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} a. Gambarlah diagrm Venn dari himpunan tersebut adalah Next >