< Previous170Buku Guru Kelas VII SMP/MTsBerdasarkan diagram Venn tersebut tentukan banyak anggota dari a. Ac = 46b. Bc = 43c. Cc = 52d. (A ∩ B)c = 71e. (A ∪ C)c = 25f. (A ∩ C)c = 20g. Ac ∩ (B ∪ C)c = 73h. (A ∩ B)c ∩ (A ∩ C)c = 0i. (A ∩ B)c ∩ (A ∩ C)c = 25j. (Ac ∩ B)c ∪ (B ∪ Cc) ∩ (A ∪ C)c = 254. Diketahui A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {e, f, g, h, j}. Tentukan a. A – B b. B – A c. (A – B) ∩ Ad. (A – B) ∪ (B – A) 5. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 10} dan B = {3, 5, 7, 9,11, 13}, dan C = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Tentukan anggota himpunan dari a. A – B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}b. B – A = {11, 13}c. B – C = {3, 5}d. C – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}e. (A – B) ∩ (A – C) = {11, 12, 13}f. (A – C) ∪ (B – C) = {1, 2, 4, 6}g. (A ∪ B) – (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}h. (A – B)c ∪ (B – C)c = {1, 2, 4, 6}171MATEMATIKA2.3.5. Sifat-sifat Operasi HimpunanDalam operasi himpunan ada beberapa sifat operasi yang perlu diketahui oleh siswa. Sifat-sifat tersebut antara lain, sifat idempoten, sifat identitas, sifat komutatif, sifat asosiatif, dan sifat distributif.a. Sifat IdempotenAyoKita AmatiSiswa diminta untuk mengamati Masalah 2.11 dan alternatif penyelesaiannya. Guru dapat memberikan contoh lain sifat idempoten dalam kehidupan sehari-hari. Sifat idempoten pada operasi gabungan dan irisan dari dua himpunan adalah sebagai berikut.Untuk sebarang himpunan A berlaku A ∪ A = A A ∩ A = AAyo KitaMenanya??Guru meminta siswa untuk membuat pertanyaan yang berkaitan dengan sifat idempoten pada operasi himpunan. Alternatif pertanyaan yang diharapkan adalah:1. Berikan contoh lain dalam kehidupan sehari-hari tentang sifat idempoten pada operasi himpunan?2. Apakah juga berlaku Ac ∪ Ac = Ac?3. Apakah juga berlaku Ac ∩ Ac = Ac?Guru dapat memberikan pertanyaan lain atau petunjuk agar siswa mampu merumuskan pertanyaan yang mengarah pada sifat idempoten pada opeasi himpunan. Ayo KitaMenalarGuru meminta siswa untuk berfikir dan berdiskusi apakah berlaku:1. Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∪ A = A? 2. Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∩ A = A? 172Buku Guru Kelas VII SMP/MTsAlternatif jawaban kegiatan ini adalah 1. Jika A adalah himpunan kosong, maka berlaku A ∪ A = A 2. Jika A adalah himpunan kosong, maka berlaku A ∩ A = A3. Jika A ∪ A = A, maka berlaku Ac ∪ Ac = Ac4. Jika A ∩ A = A, maka berlaku Ac ∩ Ac = AcAyo KitaBerbagiGuru mengajak siswa untuk berdiskusi dan siswa saling memberikan masukan tentang kegiatan menalar. Guru memberikan penguatan tentang sifat idempoten. b. Sifat Identitas AyoKita AmatiSiswa diminta untuk mencermati Masalah 2.11 dan alternatif penyelesaiannya. Guru dapat memberikan contoh lain yang relevan tentang sifat identitas dari himpunan. Sifat identitas pada operasi gabungan dan irisan adalah sebagai berikut:Untuk sebarang himpunan A, berlaku:A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅Ayo KitaMenanya??Guru dapat memberikan petunjuk agar siswa dapat mengajukan pertanyaan tentang sifat identitas dari suatu himpunan. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Berikan contoh sifat identitas himpunan dalam kehidupan sehari-hari?2. Apakah Ac ∪ ∅ = Ac dan Ac ∩ ∅ = ∅?Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat identitas ini dengan baikAyo KitaMenalarGuru meminta siswa untuk mendiskusikan masalah berikut dengan teman sebangku.Alternatif jawaban kegiatan ini adalah: 173MATEMATIKA1. Agar P ∪ Q = P, maka Q harus himpunan yang tidak memiliki anggota (himpunan kosong), dan P bukan himpunan kosong, jika P himpunan kosong dan Q himpunan kosong, maka P ∪ Q = ∅2. Agar P ∩ Q = ∅, maka P dan atau Q harus himpunan kosong, karena jika salah satu dari P dan Q atau keduanya (P dan Q) himpunan kosong maka berlaku P ∩ Q = ∅.Ayo KitaBerbagiGuru meminta siswa untuk berdiskusi dan menukar jawaban kegiatan ini, dan guru memberikan penguatan tentang sifat identitas dari operasi gabungan dan irisan suatu himpunan.c. Sifat KomutatifAyoKita AmatiGuru meminta siswa untuk mencermati diagram Venn I dan II, untuk menunjukkan sifat komutatif dari himpunan. Guru dapat juga memberikan contoh bentuk lain untuk menunjukkan sifat komutatif dari himpunan. Sifat komutatif himpunan adalah sebagai berikut Misalkan A dan B adalah himpuan:A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ AAyo KitaMenanya??Apabila siswa mengalami kesulitan dalam merumuskan pertanyaan tentang sifat komutatif dari himpunan, guru dapat memberikan pertanyaan bentuk lain atau petunjuk agar siswa memberikan kemudahan dan termotivasi untuk merumuskan pertanyaan. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Jika A = ∅ atau B = ∅, apakah berlaku A ∪ B = B ∪ A?2. Jika A = ∅ atau B = ∅, apakah berlaku A ∪ B = B ∪ A?3. Apakah berlaku juga Ac ∪ Bc = Bc ∪ Ac?4. Apakah berlaku juga Ac ∩ Bc = Bc ∩ Ac ?Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat komutatif ini dengan baik Pertanyaan-pertanyaan tersebut dapat dijadikan sebagai bahan diskusi kelompok. 174Buku Guru Kelas VII SMP/MTsAyo KitaMenalarSiswa diminta untuk berdiskusi dengan teman sebangku atau kelompok kecil untuk memikirkan jika A = ∅, apakah berlaku 1. A ∪ B = B ∪ A? 2. A ∩ B = B ∩ A? Alternatif jawaban kegiatan menalar adalah sebagai berikut1. Jika A = ∅, maka A ∪ B = ∅ ∪ B = B (sifat identitas) dan B ∪ A = B ∪ ∅ = B (sifat identitas) Jadi, untuk A = ∅, maka A ∪ B = B ∪ A.2. Jika A = ∅, maka A ∩ B = ∅ ∩ B = ∅ (sifat identitas), dan B ∩ A = B ∩ ∅ = ∅ (sifat identitas) Jadi, untuk A = ∅, maka A ∩ B = B ∩ A.Ayo KitaBerbagiUntuk mengetahui hasil kegiatan menalar, siswa diminta untuk menukarkan hasil diskusi dan guru dapat memberikan penguatan kembali tentang sifat komutatif ini dengan memberikan contoh operasi gabungan dan irisan dengan menggunakan diagram Venn. d. Sifat AsosiatifAyoKita AmatiUntuk memahami sifat asosiatif operasi himpunan, siswa diminta untuk mencermati diagram Venn I dan II yang menunjukkan sifat asosiatif operasi himpunan. Guru dapat memberikan contoh diagram Venn yang lain dengan anggota himpunan yang lebih sedikit dan sederhana. Setelah mencermati diagram Venn, siswa diminta untuk merumuskan pertanyaan. Sifat asosiatif dalam operasi himpunan adalah sebagai berikut Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku:(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)175MATEMATIKAAyo KitaMenanya??Untuk memancing siswa agar bertanya guru dapat memberikan petunjuk dengan memberikan bentuk diagram Venn yang lain yang lebih sederhana. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah:1. Apabila himpunan P dan Q saling asing, apakah berlaku sifat asosiatif tersebut?2. Apabila salah satu dari himpunan P, Q, atau R adalah himpunan kosong, apakah berlaku sifat asosiatif tersebut?Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat asosiatif ini dengan baik.Ayo KitaMenalarSiswa diminta untuk berdiskusi dalam kelompok kecil, untuk menyelesaikan kegiatan menalar ini. Alternatif jawaban kegiatan menalar adalah sebagai 1. Jika P = ∅, maka (P ∪ Q) ∪ R = (∅ ∪ Q) ∪ R = Q ∪ R Jika P = ∅, maka P ∪ (Q ∪ R) = ∅ ∪ (Q ∪ R) = Q ∪ R Jadi, untuk P = ∅, berlaku (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)2. Jika R = ∅, maka (P ∩ Q) ∩ R = (P ∩ Q) ∩ ∅ = P ∩ Q Jika R = ∅, maka P ∩ (Q ∩ R) = P ∩ (Q ∩ ∅) = P ∩ Q Jadi, untuk R = ∅, berlaku (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)Ayo KitaBerbagiKelompok yang ditunjuk guru dapat mempresentasikan hasil kegiatan menalar, sementara kelompok lain memberikan masukan dan tanggpan. Guru dapat memberikan penguatan sifat asosiatif ini serta memberikan contoh lain.e. Sifat DistributifAyoKita AmatiUntuk memahami sifat distributif operasi himpunan, siswa diminta untuk mencermati diagram Venn I dan II pada sifat asosiatif. Guru dapat memberikan contoh diagram Venn yang lain dengan anggota himpunan yang lebih sedikit dan sederhana. Setelah 176Buku Guru Kelas VII SMP/MTsmencermati diagram Venn, siswa diminta untuk merumuskan pertanyaan. Sifat distributif terhadap gabungan dan irisan dalam operasi himpunan adalah sebagai berikut:Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku:P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)Ayo KitaMenanya??Untuk memancing siswa agar bertanya guru dapat memberikan petunjuk dengan memberikan bentuk diagram Venn yang lain yang lebih sederhana. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah1. Apabila P = ∅, apakah berlaku P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)2. Apabila P = ∅, apakah berlaku P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat distributif ini dengan baik Ayo KitaMenalarSiswa dibentuk dalam kelompok kecil untuk berdiskusi menyelesaikan kegiatan menalar di bawah ini. 1. Apakah (A – B) ∪ (A ∩ B) = A 2. Apakah (A ∪ B) ∩ Ac = B – A Adapun alternatif jawaban kegiatan ini adalah sebagai berikut1. (A – B) ∪ (A ∩ B), disederhanakan sebagai berikut. (A – B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ B) dengan sifat A – B = A ∩ Bc = A ∩ (B ∪ Bc) dengan sifat distributif = A ∩ S dengan sifat komplemen = A dengan sifat irisan 2. (A ∪ B) ∩ Ac disederhanakan sebagai berikut (A ∪ B) ∩ Ac = (A ∩ Ac) ∪ (B ∩ Ac) = { } ∪ (B ∩ Ac) = (B ∩ Ac) = B – A177MATEMATIKAAyo Kita!?!?Berlatih2.10Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.10Ayo KitaBerbagiKelompok yang ditunjuk guru dapat mempresentasikan hasil kegiatan menalar, sementara kelompok lain memberikan masukan dan tanggpan. Guru dapat memberikan penguatan sifat asosiatif ini serta memberikan contoh lain.Selesaikan soal-soal di bawah ini1. Misal A = {1, 2, 3} dan B = {2, 1, 5}, maka (A ∪ B) – A = {1, 2, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}2. Jika H = {2, 4, 5}, K = {1, 4, 7} dan L = {7, 5, 1}, maka (H – K) ∩ L = {2, 4, 5} – {1, 4, 7} ∩ {7, 5, 1} = {2, 5} ∩ {7, 5, 1} = {5}3. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan semua bilangan asli dan misalkan D = {x | x kelipatan 5} dan E = {x | x kelipatan 10}, D – Ec = { }4. Gambar yang diarsir tersebut menunjukkan C – A 5. Misalkan S adalah Himpunan mobil, P = {panther, kijang, honda, suzuki}, Q = {mercedes, panther, BMW} dan R = {honda, BMW}, P ∩ (Q ∪ R) = {panther, honda}6. Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7, 8} C = {3, 5, 7, 9} Anggota dari a. Ac ∪ (B ∪ C) = {6, 7, 8, 9,10} ∪ {3, 5} = {3, 5, 6, 7, 8, 9,10} b. (A ∩ B) ∩ Cc = {5} ∩ {6, 7, 8, 9,10} = { } c. (B – C) ∩ A = {4, 6, 8} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {4}178Buku Guru Kelas VII SMP/MTs7. Misalkan P = {c, {a, b}, a, d} dan Q = {a, b}, maka P ∩ Q = { }8. Jika D = {1, 12, 13, 14, …} dan E = {1, 2, 3, 4, …}, maka E – D = {2, 3, 4, …}9. Diketahui n(P) = 21, n(Q) = 30 dan n(P ∩ Q) = 10. n(P ∪ Q) = 3110. Sebuah Puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 40 orang, 23 orang menderita penyakit demam berdarah, 11 orang menderita penyakit diare, 8 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare. Banyak pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut adalah 40 – ( 3 + 15 + 8) = 14. Jadi banyaknya pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut adalah 40 orang.11. Daerah yang diarsir dibentuk oleh himpunan 1. B – A 2. Ac ∩ B 3. B – (A ∩ B)12. Gambar diagram Venn jika diketahui: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5,6} Gambar S• 0BA• 1• 2• 3• 5• 4• 613. a. Misalnya A adalah himpunan anak yang gemar berenang B adalah himpunan anak yang gemar bernyanyi C adalah himpunan anak yang gemar sepak takraw Diagram Venn dari keterangan tersebut adalah179MATEMATIKA A• 7• 2BCS• 6• 5• 6• 4• 7b) Banyaknya anak yang tidak gemar ketiganya adalah 40 – ( 7 + 2 + 4 + 6 + 5 + 6 + 7) = 40 – 37 = 3 Jadi banyaknya anak yang tidak gemar ketiganya adalah 3 orang. 14. Untuk mengerjakan soal berikut akan lebih tepat jika digambar dalam diagram Venn, yaitu sebagai berikut Misalnya A adalah himpunan orang yang suka futsal B adalah himpunan orang yang suka sepak bola S• 8AB• 3• 5• 4 Berdasarkan diagram Venn tersebut maka dapat disimpulkan bahwa yang menyukai futsal saja adalah 4 orang dan yang menyukai sepak bola saja adalah 8 orang.15. Untuk menyelesaikan soal tersebut, akan lebih jelas jika digambar diagram Venn, yaitu Misalnya A adalah himpunan orang yang lulus tes kepribadian B adalah himpunan orang yang lulus tes potensi akademik C adalah himpunan orang yang lulus tes wawasan kebangsaan X adalah himpunan orang yang lulus tes ketiganya A• 20• 30BCS• 7• 8• 10• X• 5Next >