< Previous88Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianMisalkan titik A(x,y) terletak pada garis tersebut, sehingga:)'',''('')','('),( )0,0(yxAyxAyxAysumbuCOCooLangkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0))¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§yxyxyx1001''Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§yxyxyxyx1001''1001''''sehingga:x″ = x dan y″ = –yLangkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan)Tentukan x dan y dalam bentuk x′′ dan y′′x″ = x dan y″ = –yLangkah 5 (Proses menentukan persamaan bayangan)Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan bayangan.2(x) – (–y) + 5 = 0 atau 2x + y + 5 = 04.2.4 Pencerminan terhadap Garis y = xAyo Mengamati• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.8. Pandu siswa memahami pencerminan terhadap sumbu y = x melalui Gambar 4.8.• Minta siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh pencerminan terhadap garis y = x pada Gambar 4.8, kemudian minta siswa melengkapi Tabel 4.5.• Tabel 4.5 telah terisi sebagai berikut!Tabel 4.5: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = xTitikBayanganA(–1, –5)A′(–5, –1)B(3, –5)B′(–5, 3)C(–2, 3)C′(3, –2)D(0, 4)D′(4, 0)E(2, 4)E′(4, 2)89MATEMATIKAAyo Menalar• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada Tabel 4.5 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = x. • Perintahkan siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = x dengan cara yang sama pada konsep-konsep pencerminan di atas. Guru dengan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan terhadap garis y = x. Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:)','('),(yxAyxAxyCo atau ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§yxyx0110''Ayo Mencoba• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.9 dan Contoh 4.10 dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. Minta siswa menggambar pencerminan pada bidang koordinat kartesius. • Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya. • Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap garis y = x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.5 berdasarkan langkah-langkah yang telah disediakan.• Berikut alternatif penyelesaian Latihan 4.5 sesuai buku siswa.Ayo MenalarLatihan 4.5Titik A(–1, –3) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.Alternatif Penyelesaian)''','''(''')'',''('')','(')3,1( )0,0(yxAyxAyxAAxyCysumbuCOCooo Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0, 0))¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§31311001''yx90Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLangkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§31311001''1001''''yxyxLangkah 3 (Proses pencerminan terhadap garis y = x)¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§13310110''''0110''''''yxyxJadi, bayangan titik A adalah A′′(3,-1).4.2.5 Pencerminan terhadap Garis y = –xAyo Mengamati• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.9 dan memandu siswa memahami pencerminan terhadap sumbu y = –x melalui Gambar 4.9. • Arahkan siswa untuk memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh pencerminan terhadap garis y = –x, kemudian minta siswa melengkapi Tabel 4.6.• Tabel 4.6 telah terisi sebagai berikut.Tabel 4.6: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = –xTitikBayanganA(1, –4)A′(4, –1)B(–2, –3)B′(3, 2)C(–5, –3)C′(3, 5)D(–1, 5)D′(–5, 1)E(–3, 5)E′(–5, 3)Ayo Menalar• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada Tabel 4.6 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x.• Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x sesuai dengan langkah-langkah yang telah diberikan atau dengan cara yang sama pada pencerminan sebelumnya. • Demonstrasikan proses menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x.91MATEMATIKAAyo MenalarMenemukan Matriks Pencerminan terhadap Garis y = –x.Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum, jika titik A(x, y) di-cerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayangan A′(–y,–x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah ¸¸¹·¨¨©§ dcbaC sehingga:),('),(xyAyxAxyCo ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§yxdcbaxy¨¨©§¨¨©§ax + bycx + dyIni berarti bahwa:–y = ax + by ⇔ a = 0, dan b = –1–x = cx + dy ⇔ c = –1, dan d = 0Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah ¸¸¹·¨¨©§0110• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan ter-hadap garis y = –x Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan bayangan A′(x′,y′), ditulis dengan,)','('),(yxAyxAxyCo atau ¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§yxyx0110'']Ayo Mencoba• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.11 dan Contoh 4.12 dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan. • Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat kartesius. Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.3.Kegiatan Penutup• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep pada materi yang telah dipelajari.• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.92Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan dirumah. Guru dapat memberikan Uji Kompetensi 4.1 atau persoalan lainnya sesuai dengan konsep yang dipelajari.• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang efisien dan efektif.2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran4. Siapkan RPP dan form penilaian.No.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi1. Motivasi siswa mempelajari konsep rotasi (perkalian). 2. Ingatkan kembali siswa materi rotasi di tingkat SMP/MTs dan konsep matriks.3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep rotasi (perkalian) ini dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep matriks.4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.2.Kegiatan IntiPengantar• Guru memberikan contoh-contoh objek yang bergerak berputar di lingkungan sekitar (seperti kipas, kincir angin, roda, dan lain-lain). Siswa memberikan contoh-contoh lainnya.93MATEMATIKA• Motivasi siswa untuk mempelajari konsep transformasi ketiga yaitu rotasi dengan pendekatan koordinat dan kaitannya dengan konsep matriks.Masalah 4.4Ayo Mengamati• Minta siswa memahami Masalah 4.4 dan memandu siswa mengamati dan menalar perputaran segitiga jika titik pusat pemutaran berada pada bidang segitiga, berada di salah satu titik sudut segitiga, dan berada di luar segitiga (lihat Gambar 4.10). Minta siswa memberi komentar dan arahkan ke sesi tanya-jawab.• Pandu siswa bahwa gerak rotasi objek dipengaruhi oleh titik pusat rotasi. Minta siswa membandingkan kembali Gambar 4.10: A, B, dan C.• Arahkan pengamatan siswa fokus pada bentuk, posisi, dan ukuran objek sebelum dan sesudah rotasi.• Guru dan siswa menemukan sifat rotasi berdasarkan pengamatan perputaran objek di lingkungan sekitar dan pada bidang kartesius seperti pada Gambar 4.10 dan Gambar 4.11. Sifat 4.3: Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Ayo Menalar• Demonstrasikan proses menemukan matriks rotasi pada pusat O(0, 0) melalui Gambar 4.12. Ingatkan siswa konsep trigonometri serta kesamaan matriks. • Pandu siswa kembali melakukan percobaan untuk menemukan konsep rotasi pada pusat P(a, b) dengan melakukan: (1) translasi titik dengan T(–a, –b) sehingga pusat rotasi menjadi O(0, 0). Dengan demikian, matriks rotasi dengan pusat O(0, 0) dapat digunakan, kemudian (2) hasil rotasi pada langkah (1) ditranslasi kembali dengan T(a, b).• Guru dan siswa bersama-sama menyimpulkan atau membangun konsep rotasi yang diputar dengan sudut dan pusat P(p, q).94Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut a menghasilkan bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:>@(,),(,)'(',')PpqRAxyAxyDo¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§qpqypxyxDDDDcossinsincos''Ayo Mencoba• Uji pemahaman siswa kembali dengan mengajukan Contoh 4.13 dan Contoh 4.14. Minta siswa kembali mendemonstrasikan proses dan menjelaskannya di depan kelas.• Guru memberikan persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.3.Kegiatan Penutup• Minta siswa untuk mengomunikasikan konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkumkan semua konsep dan sifat dari yang dipelajari.• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan meng-gunakan rubrik penilaian.• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat memberikan Uji Kompetensi 4.2 atau persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari.• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)Sebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang efisien dan efektif.2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran4. Siapkan RPP dan form penilaian.95MATEMATIKANo.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi1. Motivasi siswa mempelajari konsep dilatasi (perkalian). 2. Ingatkan kembali siswa materi dilatasi di tingkat SMP/MTs. 3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep dilatasi (perkalian) ini dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep matriks.4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.2.Kegiatan IntiPengantar• Pandu siswa memberikan contoh dilatasi atau perkalian yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Arahkan siswa memahami perkalian atau dilatasi dengan pendekatan koordinat.Masalah 4.5Ayo Mencoba• Dengan kelompok berdiskusi, siswa diajak mengamati, tanya-jawab, dan mengomunikasikan pendapatnya akan Masalah 4.5.• Minta siswa memahami Masalah 4.5 dan mengamati Gambar 4.13.Arahkan siswa fokus mengamati pada jarak OA dengan OA2 atau OB dengan OB2 atau OC dengan OC2. Arahkan siswa kembali mengamati jarak OA dengan OA1 atau OB dengan OB1 atau OC dengan OC1.Ayo Mengomunikasikan• Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan tunjuk salah satu kelompok untuk mengomunikasikan pendapat mereka “apa itu dilatasi?” melalui pengamatan jarak pada Gambar 4.13.• Minta siswa secara berkelompok membuat contoh lain mengenai dilatasi titik, garis dan bidang secara gambar. Kemudian menyajikannya di depan kelas.Ayo Menanya• Tanya siswa, yang manakah pusat dilatasi dan faktor skala dilatasi pada Gambar 4.13?• Arahkan kembali siswa konsentrasi pada ukuran objek dengan dilatasinya. Minta siswa memperhatikan ukuran, ukuran dilatasinya dengan faktor skala dilatasi.96Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK• Minta atau tunjuk seorang siswa untuk menyampaikan pendapatnya.Ayo Menalar• Arahkan bernalar dan memberikan komentar atau pendapatnya kembali akan gambar dengan dilatasi k, di mana k > 0, k = 0 dan k < 0.• Dengan kegiatan pengamatan pada contoh-contoh perkalian/dilatasi di lingkungan sekitar dan pengamatan dilatasi objek pada bidang koordinat maka arahkan siswa memahami Sifat 4.4. Sifat 4.4: Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. • Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.• Jika 0< k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.• Jika –1< k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan ukuran, tetapi letaknya berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Ayo Mengamati• Arahkan kembali siswa mengamati Gambar 4.14 dengan konsentrasi pada pusat dilatasi setiap objek (A, B, C, D dan E)?• Minta siswa mengamati koordinat objek tersebut, koordinat hasil dilatasi, koordinat pusat dilatasi serta jarak objek ke pusat dilatasi dan jarak hasil dilatasi ke pusat dilatasi.• Perintahkan siswa melengkapi Tabel 4.7 dengan melihat panduan pada sel yang telah terisi. Pandu siswa melengkapi sel.97MATEMATIKA• Tabel 4.7 telah terisi sebagai berikut.Ayo MencobaNo.PusatObyekHasilPola123451P(0, 0)A(2, 2)A′(6, 6)¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§0000223662P(0, 0)B(–2, 2)B′(2, –2)¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§0000221223P(9, 0)C(9, 2)C′(9, –4)¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§0909292494P(–10, 1)D(–8, 2)D′(–2, 5)28101045211§·§·§·§·§· ¨¸¨¸¨¸¨¸¨¸©¹©¹©¹©¹©¹5P(–8, –3)E(–7, –3)E(–3, –3)¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§383837533Ayo Mengamati• Arahkan dan pandu siswa melihat pola perhitungan pada Tabel 4.7. Lihat kolom 5.• Berdasarkan pengamatan dan bentuk pola yang ditemukan, guru dan siswa menuliskan konsep dilatasi pada pusat P(p,q) dan skala k. Titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan,>@(,),(,)'(',')PpqkRAxyAxyo¸¸¹·¨¨©§¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¹·¨¨©§qpqypxkyx''Ayo Menalar• Uji pemahaman siswa kembali akan konsep dilatasi dengan mengajukan Contoh 4.15 dan Contoh 4.16. Minta siswa mendemonstrasikan proses dan menunjukkan gambarnya.Next >