< Previous138Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK• Bantu siswa memahami hubungan Gambar 6.1 dengan Gambar 6.2. Gambar 6.2 adalah sketsa sederhana visual bentuk badan jalan sesuai dengan Gambar 6.1 dengan posisi memandang di tengah jalan, sehingga tampak lebar jalan seakan-akan menyempit dari kiri dan kanan badan jalan. Tujuannya adalah memberikan ilustrasi pendekatan kiri dan kanan.6.1.1 Menemukan Konsep Limit FungsiAyo MenalarMasalah 6.1• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.1 dalam menemukan konsep limit. Beri kasus yang sama dengan pendekatan ke bilangan yang lain. • Ajak siswa mencari bilangan bulat yang dekat ke 3. Ajak kembali siswa mencari bilangan real yang dekat ke 3. Pandu siswa me-mahami dan mencari jawaban dengan Gambar 6.3. • Berdasarkan Gambar 6.3, misalkan bilangan real yang dekat ke 3 adalah 2,75 atau 3,25. jika interval 2,75 sampai 3,25 diperbesar sehingga diperoleh bahwa ada bilangan real lain yang lebih dekat ke 3, tetapi jika diperbesar kembali interval 2,99 sampai 3,01 maka akan lebih mudah melihat kembali bilangan yang dekat ke 3 dan seterusnya.• Bantu siswa memahami bahwa banyak bilangan real yang sangat dekat ke 3. • Bantu siswa memahami pemisalan x sebagai bilangan-bilangan yang mendekati 3 sehingga tertulis x o 3. Perkenalkan simbol ”x o 3”. Perkenalkan pendekatan kiri dengan simbol ”x o 3–”, serta pendekatan kanan dengan simbol ” x o 3+”.• Berikan contoh kasus yang sama sebagai pembanding agar siswa lebih mudah memahami.Ayo menalarMasalah 6.2• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.2 dan memahami Gambar 6.4. 139MATEMATIKA• Informasikan maksud gambar bahwa andaikan gerak lintasan bola dan gerak lintasan atlet dimisalkan kurva. Bola dan tangan atlet sama-sama bergerak saling mendekati pada saat dan ketinggian tertentu. Berikan ide-ide secara bebas dan terbuka. Pandu siswa untuk membangun sebuah konsep limit fungsi dan pendefinisian tentang limit fungsi.• Jelaskan pergerakan bola menuju atlet dan pergerakan atlet menuju bola akan bertemu disuatu saat, misalkan di saat tertentu itu adalah x = c dan ketinggian di saat tertentu itu adalah y = L. Arahkan kembali ke Gambar 6.4 (b). 6.1.2 Pemahaman Intuitif Limit FungsiAyo MenalarLimit Fungsi untuk f(x) = x + 1 untuk x R.• Ingatkan siswa konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, daerah hasil dan sketsanya di bidang koordinat kartesius).• Pandu siswa memahami limit fungsi secara intuitif, dengan memperkenalkan limit kiri dan limit kanan dengan mem-perlihatkannya pada gambar. Sepakati bahwa sebelah kiri suatu titik pada garis bilangan horizontal adalah kiri, dan arah sebaliknya adalah kanan. • Pandu siswa memahami limit secara intuitif pada f(x) = x + 1 untuk x R berdasarkan Tabel 6.1 dan Gambar 6.5.• Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.1. Minta siswa mengamati gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2.• Tunjukkan dan jelaskan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2 di sumbu x akan mempengaruhi gerakan bilangan dari atas dan bawah bilangan 3 di sumbu y. Ayo Menanya• Arahkan kelas ke sesi tanya-jawab. Guru memberi kesempatakan kepada siswa untuk bertanya, dan siswa lainnya memberi komentar sebelum guru memberi tanggapan dan memberi jawaban atas pertanyaan siswa. Guru memperhatikan siswa yang belum berani memberi komentar dan mengarahkannya berkomunikasi.140Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAyo Menalar• Dengan proses yang sama, perintahkan siswa berdiskusi, menalar limit fungsi untuk f(x) = 211xxuntuk x ≠ 1, x R. • Dengan panduan yang sama untuk f(x) = 211xxuntuk x R, x ≠ 1, minta siswa mengamati Gambar 6.6 dan Tabel 6.2. Arahkan siswa foku smengamati nilai pendekatan ke 2 di sumbu x dan pendekatan ke 3 di sumbu y pada Tabel 6.2.• Arahkan siswa melakukan pengamatan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan angka 1 di sumbu x akan berpengaruh pada pergerakan bilangan dari atas dan bawah angka 2 di sumbu y. • Minta siswa mencari nilai f(1)? Minta siswa mengamati hubungan Tabel 6.2 dan Gambar 6.6.Ayo Mengomunikasikan• Sesuai dengan hasil diskusi kelompok, minta siswa menyaji pendapat atau memberi komentar mereka akan limit fungsi f(x) = 211xxuntuk x ≠ 1, x RAyo menalarLimit fungsi f(x) = x2 jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123untuk x R.• Jelaskan bentuk fungsi f(x) = x2 jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123untuk x R• Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.3. Arahkan siswa mengamati pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1 pada sumbu x dan pergerakan hasil f(1) pada sumbu y. • Tunjukkan dan jelaskan gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1 di sumbu x akan berpengaruh pada gerakan bilangan dari atas dan bawah f(1) di sumbu y. Minta siswa mencari nilai f(1)? Arahkan siswa memberi komentar tentang nilai f(1).141MATEMATIKA• Perkuat pemahaman siswa tentang limit kiri dan limit kanan dengan menggunakan Gambar 6.7.• Bantu siswa memahami bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai limit di x = 1. Kenapa? Perkenalkan bentuk tentu dan tak tentu suatu limit pada titik tertentu. Guru memberikan contoh-contoh fungsi yang dimaksud. • Berikan kesempatan kepada siswa untuk menjelaskan dengan kata-kata sendiri tentang limit kiri dan limit kanan berdasarkan pemahaman pada contoh-contoh di atas.• Guru dan siswa bersama-sama membangun Definisi 6.1Definisi 6.1Misalkan f sebuah fungsi f : R o R dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real. lim()xcfxo = L jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati c.Latihan 6.1• Koordinir siswa untuk berdiskusi mengerjakan Latihan 6.1 dan menjelaskan di depan kelas serta mengumpulkan hasil diskusi.Ayo Menalar• Arahkan siswa untuk membentuk kelompok diskusi (3–4 orang). Perintahkan siswa menghubungkan definisi limit dengan Gambar 6.8 dan Gambar 6.9.• Setelah salah satu kelompok menyajikan hasil kerja kelompoknya, arahkan siswa ke sesi tanya-jawab. Dengan demikian, siswa mempunyai kesempatan untuk memberikan komentar dan saling menanggapi. Guru harus memberikan kesimpulan akhir.• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.1.Berdasarkan Gambar 6.8 maka:Limit di x = –3Limit di x = 1Limit di x = 4f(–3) = 5f(1) = 3f(4) = tidak tentu3lim()xfxo = 51lim()xfxo = 34lim()xfxo = 23lim()xfxo = 51lim()xfxo = 5,54lim()xfxo = 2142Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3lim()xfxo = 3lim()xfxo1lim()xfxo ≠ 1lim()xfxo4lim()xfxo = 4lim()xfxoAda limitTidak ada limitAda limitBerdasarkan Gambar 6.9 maka:Gambar AGambar BGambar CGambar Df(c) = adaf(c) = ∞f(c) = tidak tentuf(c)= adalim()xcfxo = adalim()xcfxo = –∞lim()xcfxo = adalim()xcfxo = adalim()xcfxo = adalim()xcfxo = +∞lim()xcfxo = adalim()xcfxo = adalim()xcfxo =lim()xcfxolim()xcfxo ≠lim()xcfxolim()xcfxo =lim()xcfxolim()xcfxo ≠lim()xcfxoAda limitTidak ada limitAda limitTidak ada limitAyo Menalar• Minta siswa membaca Contoh 6.1 dan membantu siswa memahami Contoh 6.1 melalui sketsa pada Gambar 6.10. Ingatkan siswa bentuk umum fungsi kuadrat, fungsi linier dan fungsi konstan.• Tunjukkan pada siswa model fungsi lintasan lebah dan sketsa lintasannya pada Gambar 6.11. • Bantu siswa memahami Tabel 6.4 dan Tabel 6.5 dengan keterkaitannya pada Gambar 6.11. • Demonstrasikan proses perhitungan limit kiri dan limit kanan pada Tabel 6.4 danTabel 6.5serta menunjukkan keterkaitannya dengan Gambar 6.11.Ayo Mengkomunikasikan• Minta siswa memberi komentar akan pendekatan f(t) pada saat t mendekati 1 dari kiri–kanan, dan pada saat t mendekati 2 dari kiri-kanan sesuai dengan pemahaman mereka akan limit kiri dan limit kanan pada Contoh 6.1 tersebut.3.Kegiatan Penutup• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleks idan merang kum-kan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.143MATEMATIKA• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. • Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.6.2 Sifat-Sifat Limit FungsiSebelum Pelaksanaan Kegiatan3.6.1 Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang efisien dan efektif.3.6.2 Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.3.6.3 Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pem-belajaranNo.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi– Ingatkan siswa akan limit kiri dan limit kanan serta definisi limit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya.– Informasikan kepada siswa, materi yang akan dipelajari adalah sifat-sifat limit fungsi.2.Kegiatan IntiAyo menalar• Ingatkan siswa materi sebelumnya. Berdasarkan Gambar 6.1, Masalah 6.1, Masalah 6.2, pemahaman limit fungsi secara intuitif serta Definisi 6.1, Arahkan siswa untuk membangun Sifat 6.1.• Perkenalkan kepada siswa simbol penulisan limit kiri lim()xcfx→− dan limit kanan lim()xcfx→+144Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAyo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.2 dan mengamati Tabel 6.6. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.2. Sifat 6.1Misalkan f sebuah fungsi f : R o R dan L, c bilangan real. lim()xcfxo = L jika dan hanya jika lim()xcfxo = L = lim()xcfxo.Sifat 6.2Misalkan f(x) = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka lim()xco k = k.• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.2 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = k.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.2 dengan kata-kata sendiri.Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.3 dan mengamati Tabel 6.7. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.3. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.3 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = k.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.3 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.3Misalkan f(x) = x, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka lim()xco x = c.Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.4 dan mengamati Tabel 6.8. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.4. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.4 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = kx dengan mengambil sembarang nilai k bilangan real.145MATEMATIKA• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.4 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.4Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka maka limxco[kf(x)] = k[limxcof(x)] Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.5 dan mengamati Tabel 6.9. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.5. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.5 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = kx2 dengan mengambil sembarang nilai k bilangan real.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.5 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.5Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, limxco[f(x)g(x)] = [limxco f(x)] [limxcog(x)]Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.6 dan mengamati Tabel 6.10 dan Tabel 6.11. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.6. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.6 dengan menggunakan gambar fungsi f(x) =x2 – 4x dan f(x) =x2 + 4x.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.6 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.6Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, limxco[f(x) ± g(x)] = [limxco f(x)] ± [limxcog(x)] 146Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAyo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.7 dan mengamati Tabel 6.12. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.7.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.7 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.7Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka limxco()()fxgxªº«»¬¼= lim()lim()xcxcfxgxoo =limxcog(x) ≠ 0 Ayo Menalar• Demonstrasikan Contoh 6.8 dan mengamati Tabel 6.13. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.8. • Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.8 dengan menggunakan gambar fungsi y = f(x) = 8x3.• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.8 dengan kata-kata sendiri.Sifat 6.8Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah bilangan positif maka limxco[f(x)]n = [limxco f(x)]nAyo Menalar• Koordinir siswa untuk membentuk kelompok dan mengerjakan Latihan 6.2 dan mendemonstrasikan di depan kelas kerja serta mengumpulkan hasil kerja kelompok.• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.2.147MATEMATIKALatihan 6.2Tunjukkan dengan pendekatan nilai, 2limxox = 332limxxox1,51,71,91,991,999. . .2. . .2,0012,012,12,52,73x1,141,191,241,261,26. . .1,26. . .1,261,261,281,361,3933()x1,51,71,91,991,999. . .2. . .2,0012,012,12,52,73.Kegiatan Penutup• Minta siswa mengkomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang telah diketahui setelah pembelajaran.• Siswa dan guru bersama-sama melakukan refleksi dan merangkum-kan semua konsep dan sifat-sifat limit fungsi dari yang dipelajari.• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh guru.• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. • Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikut-nya.6.3 Menentukan Nilai Limit FungsiSebelum Pelaksanaan Kegiatan1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang efisien dan efektif.2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses pembelajaran.3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaranNo.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.• Apersepsi– Informasikan kepada siswa tentang tujuan pembelajaran.– Jelaskan kepada siswa bentuk tentu dan bentuk tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu. Ingatkan kembali Latihan 6.1.Next >