< Previous198Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif PenyelesaianMisalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut: Gambar 8.1. Barang diturunkan ke bidang miringSekarang, kita misalkan jaring (barang) yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius.Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 8.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi), terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali.Berdasarkan Gambar 8.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 8.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′.Gambar 8.2. Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat kartesiusGambar 8.3. Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva199MATEMATIKAAtau xfdxdym' dy dx sehingga y adalah anti turunan dari m. dengan demikian antiturunan dari m adalah y = f(x) + ck. Hal ini berarti bahwa nilai konstanta ck dapat berubah-ubah.Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Antiturunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut.Mengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.2.• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang informasi yang diperoleh dari kegiatan memindahkan barang di dermaga.Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang belum dipahaminya dalam Masalah 8.2 tersebut. Menalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan MenalarAlternatif Penyelesaian:turunan fungsia) F(x) = 441x adalah 3441')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª dxb) F(x) = 4414xadalah F’(x) = f(x) = y' = 34441)()(xxdxd »¼º«¬ª dx 200Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKc) F(x) = 8414x, maka: 34841')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª dxd) F(x) = 21414x, maka: 342141')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª dxe) F(x) = 20713414x13, maka: 342071341')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª 13 dxJika dilakukan pengamatan terhadap kelima fungsi, maka seluruh fungsi F(x) tersebut merupakan antiturunan dari fungsi f(x) = x3, sementara fungsi F(x) memiliki konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.Menarik Kesimpulan• Berdasarkan penyelesaian masalah dan bantuan guru minta siswa untuk dapat membuat definisi tentang antiturunan.• Berdasarkan pemahaman beberapa contoh minta siswa untuk membuat tentang sifat-sifat yang terkait dengan turunan dan antiturunan.3.Kegiatan Penutup• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian.201MATEMATIKA8.2 Notasi IntegralNo.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Apersepsi1. Informasikan kepada siswa bahwa mereka hanya akan mengenal tentang lambang integral yang akan digunakan sebagai lambang antiturunan.2.Kegiatan IntiMinta siswa untuk memperhatikan Masalah 8.2 dan penyelesaiannya dan minta juga siswa untuk menggunakan lambang integral pada penyelesaiannya.a) F(x) = 441x, maka: 3441')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª d dxsehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()=()==+∫∫ 3414b) F(x)= 4414x, maka: F'(x) = f(x) = y' = 34441)()(xxdxd »¼º«¬ª d dx sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()=()==+∫∫ 3414c) F(x) = 8414x, maka: 34841')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª dx sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()=()==+∫∫ 3414202Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd) F(x) = 21414x, maka: 342141')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª d dx sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()=()==+∫∫ 3414e) F(x) = , maka: 342071341')()('xxdxdyxfxF »¼º«¬ª dx13 sehingga diperoleh Fxfxdxxdxxc()=()==+∫∫ 34143. Kegiatan Penutup• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian.8.3 Rumus Dasar dan Sifat Dasar Integral Tak TentuNo.Deskripsi Kegiatan1.Kegiatan Pendahuluan• Apersepsi1. Guru meminta siswa untuk melihat penyelesaian masalah dan contoh-contoh yang sudah diselesaikan sebelumnya.2. Informasikan kepada siswa bahwa mereka akan mempelajari tentang rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu2.Kegiatan IntiMengamati• Minta siswa untuk mengamati beberapa penyelesaian masalah dan contoh-contoh.Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang belum dipahaminya dalam penyelesaian masalah dan contoh-contoh tersebut. 203MATEMATIKAMenalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang sifat 8.3Sifat 8.3Jika F(x) adalah fungsi dengan F′(x) = f (x) makadengan C sebarang konstantaMengamati• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.3• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang informasi yang diperoleh tentang aturan proses integrasi.Menanya• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang belum dipahaminya dalam Masalah 8.3 tersebut. Menalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan menalar.Alternatif Penyelesaian:Untuk menjawab permasalahan ini, akan dilakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 8.1.204Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 8.1 Pola Hubungan Turunan dan Antiturunan fungsi y = axnTurunan Fungsi (f(x))Antiturunan Fungsi (F(x))Pola1x2xx23x2x38x32x4………anxn – 1axnaxn? Dari pengamatan pada tabel tersebut, dapat dilihat sebuah aturan integral atau pola antiturunan dari turunannya yaitu ³ 11nnxnadxaxaxdx. MencobaSelanjutnya minta siswa untuk menemukan pola hubungan turunan dan antiturunan beberapa fungsi yang ada pada Tabel 8.2.Menalar• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang Sifat 8.4 , 8.5, dan 8.6.205MATEMATIKASifat 8.4n bilangan rasional dan n z – 1, maka(i) Cxndxxnn ³111dx(ii) ³ Cxnadxaxnn11axdxdengan a dan c konstanta realSifat 8.5Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat ditentukan integralnya, maka :1. Cxdx ³dx2. Ckxdxk ³dxkx3. ³ Cnxdxxnn11dx4. ³³ dxxfkdxxfk)()(dxdx5. >@³³³ dxxgdxxfdxxgxf)()()()(dxdxdx6. >@³³³ dxxgdxxfdxxgxf)()()()(dx dxdxSifat 8.6Misalkan adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, yaitu:fxfxfxdxfxdxfxdxfxdnn1212()+++()()=()+++()∫∫∫∫()...()... xxdxSelanjutnya, minta siswa memahami contoh-contoh yang diberikan untuk melatih kemampuan dalam menguasai sifat-sifat yang sudah dipahami. 206Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMenarik Kesimpulan• Berdasarkan penyelesaian masalah dan bantuan guru minta siswa untuk dapat membuat kesimpulan dari hasil pembahasan materi integral yaitu: 1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan turunan.2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F'(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa:a. turunan dari F(x) adalah f(x) dan,b. antiturunan dari f(x) adalah F(x).3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).4. Jika F'(x) = f(x) maka 3.Kegiatan Penutup• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian F. PenilaianProsedur PenilaianNo.Aspek yang dinilaiTeknik PenilaianWaktu Penilaian1.Berani bertanyaPengamatanKegiatan inti 2.BerpendapatPengamatanKegiatan inti 3.Mau mendengar orang lainPengamatanKegiatan inti 4.BekerjasamaPengamatanKegiatan inti 5.KonsepTes TertulisKegiatan penutup 207MATEMATIKA1. Instrumen Penilaian Sikap(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)No.Nama Peserta DidikAspekJumlahNilaiKerja samaKeaktifanMenghargai pendapat temanTanggung jawab1.2.3.4..... Keterangan Skor:1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten.3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten. Skor Maksimal = 16100%MaksimalSkor PerolehanSkor Nilaiu Next >