< PreviousMatematika101{ %q ' *q + ^q V { %q *q V ^q ' +{ %q *q ' ^q V +{ %q *q + ^q V '{ %q + *q V ^q ' { %q + *q ' ^q V { %q + *q ^q V 'Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut.Kartu I Kartu II Kartu III V ' + ' + + ' ' V + V + + V V ' + ' V + + V '102Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK + V ' ' V V 'Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan, kotak (2) ada 3 kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu (1)(2)(3)432Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 43*W*$ $32 W43214!1(43)!.\ ! ^ Y *V ^V $V YV VPenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan tiga kotak sebagai Y *V ^V $V YV V (1)(2)(3). . .. . .. . .Karena kartunya terdapat 5, maka kotak (1) dapat diisi oleh 5 kartu, sehingga pada kotak (1) ada 5 kemungkinan. Karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal 4 yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat 4 kemungkinan.Pada kotak (3) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu pada kotak (2). Silakan Anda membuat diagram batang untuk menggambarkan kemungkinan tersebut. Apa yang { %q Y *q ^kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu Contoh 3.1.4Matematika103(1)(2)(3)543Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 54^W Y4^W543215!21(53)!.Tentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu.PenyelesaianAnda dapat menyelesaikan masalah ini dengan langkah sebagai berikut.– Kartu pertama dapat dibagikan kepada 5 pemain, sehingga banyak cara membagikan kartu pertama sebanyak 5 kemungkinan.– Karena satu pemain sudah mendapat 1 kartu, maka tinggal 4 pemain yang dapat dibagikan kartu kedua, sehingga banyak cara membagikan kartu kedua sebanyak 4 kemungkinan.– Kartu ketiga (terakhir) dapat dibagikan kepada 3 pemain, karena 2 % ' ! membagikan kartu ketiga sebanyak 3 kemungkinan.Dengan menggunakan prinsip perkalian, maka banyak cara mendistribusikan 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu sama dengan 54^W543215!21(53)!W\ ini.Contoh 3.1.5104Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.2 sampai Contoh 3.1.5, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi r unsur dari n * r unsur dari n unsur dengan r > n3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur berbeda kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah permutasi r unsur dari n &Mari kita menurunkan rumus untuk banyak permutasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena permutasi r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari n permutasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nPrWP(n, rqW– Untuk 0 < , akan digunakan r kotak dalam menentukan banyak permutasi r unsur dari n, yaitu(1)(2)(3). . .(r). . .. . .. . .. . .. . .Karena terdapat n unsur, maka kotak (1) dapat diisi oleh n kartu, sehingga pada kotak (1) ada n kemungkinan.Matematika105Sifat 6.8Karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal n – 1 yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat n – 1 kemungkinan.Dengan demikian untuk kotak (3) terdapat n – 2 kemungkinan, dan seterusnya hingga kotak ke (r) terdapat (n – r + 1) kemungkinan.Jadi kemungkinan pada kotak (1), (2), . . . (rq &(1)(2)(3). . .(r)nn – 1 n – 2. . .n – r + 1Dengan aturan perkalian diperoleh banyak permutasi r unsur dari n. nPrWP(n,rqWn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1) W(1)(2)...(1)()...21!()...21()!nnnnrnrnrnr.Jadi banyak permutasi r unsur dari n unsur, nPrWP(n,rqW!()!nnr, untuk 0 < .Dalam kasus r = n, maka nPn = P(n,nqWn! dan disebut banyak permutasi n unsur. Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur. ; berikut.– Unsur pertama dapat didistribusikan ke n tempat berbeda, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur pertama adalah n cara.– Karena 1 tempat sudah terisi unsur pertama sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur kedua adalah n – 1 cara.– Karena 2 tempat sudah terisi unsur pertama dan kedua sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur ketiga adalah n – 1 cara.– Demikian seterusnya, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur r) sebanyak (n – r + 1) cara.106Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK{ ! distribusi kan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur adalahn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1qWP(n, rqW!()!nnr.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda Kesimpulan Setelah Anda mengerti menemukan rumus untuk permutasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan ' kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang \ Matematika107Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya permutasi r unsur dari n ' tentang kombinasi r unsur dari n unsur." ! ! r unsur dari n unsur dan hubungannya dengan permutasi r unsur dari n unsur.- ! * ! $ ! V ' +qPenyelesaian- ! * ! $ ! V ' +q V ' V V + ' ' + + V ' + * V ' V V + ' ' + +' ! * ! $ ! V ' +q ! * dari 4 unsur, 2C4 atau C(4,2). Sedangkan banyak cara menyusun 2 kartu Ace $ ! V ' +q ! *unsur dari 4 unsur, 2P4 atau P(4, 2).# ! * $ P(4, 2) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C$ *q V ' V V + ' ' + + V ' 2 unsur yaitu P* *q V V + ' ' + + P(2, 2). Jadi Contoh 3.1.6108Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKbanyak banyak cara permutasi 2 unsur dari 4 unsur P(4, 2) sama dengan banyak cara kombinasi 2 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 2 unsur P(2, 2) atau P$ *qWC(4,2) P(2, 2). Sehingga diperoleh C$ *qW(4,2)(2,2)PP.- ! ^ ! $ ! V ' +qPenyelesaian- ! ^ ! $ ! V ' +q ^ V ' V + ' + V ' + ^ V ' V + ' +- ! ^ ! $ ! V ' +qmerupakan contoh dari kombinasi 3 unsur dari 4 unsur, 3C4 atau C(4, 3), ! ^ ! $ ! V ' +q ! ^ $ ^$ P(4, 3).# ! ^ $ P(4, 3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C$ ^q V ' + V + ' + V ' + ^ ^ ^q+ V + ' + ^ P(3, 3). Jadi banyak banyak cara permutasi 3 unsur dari 4 unsur P(4, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau P$ ^qWC(4,3) P(3, 3). Sehingga diperoleh C$ ^qW(4,3)(3,3)PPContoh 3.1.7Matematika109\ ! ^ Y *V ^V $V YV VPenyelesaian- ! ^ ! Y *V ^V $V YV V *V ^V $V YV V ^ } &*V ^V $V *V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V- ! ^ Y *V ^V $V YV V contoh dari kombinasi 3 unsur dari 5 unsur, 3C5 atau C(5,3), sedangkan banyak ! ^ Y *V ^V $V YV V ! dari permutasi 3 unsur dari 5 unsur, 3P5 atau P(5, 3).# ! ^ Y P(5,3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur CY ^q *V ^V $V *V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V *V ^V $V ^ ^ ^q+ *V ^V YV *V ^V V *V $V YV *V $V V ^V $V YV ^V $V V $V YV V ^ ^ ^q{ cara permutasi 3 unsur dari 5 unsur P(5, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 5 unsur C(5, 3) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau PY ^qWC(5, 3) P(3, 3). Sehingga diperoleh CY ^qW(5,3)(3,3)PPTentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur.Contoh 3.1.8Contoh 3.1.9110Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKPenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah mengambil 3 tempat dari 5 tempat berbeda yang ada untuk ditempati oleh 3 unsur yang sama. Dengan demikian, masalah ini sama halnya seperti masalah pada contoh 3. Jadi banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur adalah C(5,3).\ ini. Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.6 sampai Contoh ^% " pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah kombinasi r unsur dari n * r unsur dari n unsur dengan r > n3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur yang sama kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah kombinasi r unsur dari n &Next >