< PreviousMatematika111Mari kita menurunkan rumus untuk banyak kombinasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena kombinasi r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari n sehingga banyak kombinasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nCr WC(n, rqW– Untuk 0 , misalkan banyak kombinasi r unsur dari n unsur adalah C(n, r), maka banyak kombinasi ini sama dengan banyak himpunan bagian n unsur yang mempunyai r unsur. Sedangkan permutasi r unsur dari n unsur diperoleh dari penyusunan dari setiap himpunan bagian dari n unsur yang memuat r unsur dari n unsur yaitu sebanyak P(r, r), dengan kata lain r unsur dari n unsur diperoleh r dari n unsur C(n, r) sebanyak P(r, r). Dengan demikian banyak permutasi r unsur dari n unsur P(n, r) sama dengan banyak kombinasi r unsur dari n unsur C(n, r) dikalikan dengan banyak permutasi untuk r unsur P(r,r), yaitu P(n, rqWC(n, r) P(r, r) atau C(n, rqW(,)!(,)()!!PnrnPrrnrr.Jadi banyak kombinasi r unsur dari n unsur, nCrWC(n,rqW(,)!(,)()!!PnrnPrrnrr, untuk .Dalam kasus r = n, maka nCn WC(n, nqW% Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi % ; mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak 1 unsur dapat dipandang sebagai mengambil r tempat dari n tempat berbeda untuk ditempati oleh r unsur yang sama. r unsur dari n unsur berbeda, dan ini merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur. Jadi masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda 112Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur yang rumusnya telah diturunkan di atas, yaitu C(n, rqW(,)!(,)()!!PnrnPrrnrr.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda Kesimpulan Setelah Anda mengerti menemukan rumus untuk kombinasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan ' kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang \ Matematika113Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya rumus permutasi n unsur, yaitu P(n, nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah semuanya berbeda. Sekarang bagaimana apabila dalam n unsur terdapat beberapa unsur yang sama, bagaimana rumus untuk masalah ini. Untuk ! contoh berikut." ! ! beberapa unsur yang sama.Tentukan banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C.PenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C ke dalam 6 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan 6 tempat ini dapat diilustrasikan sebagai 6 kotak berikut. (1)(2)(3)(4)(5)(6). . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan 3 huruf A ke dalam 6 kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(6, 3).– Berikutnya, karena 3 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf B ke dalam 3 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(3, 2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1, 1).Contoh 3.1.10114Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C adalah C(6, 3) C(3, 2) C% %qW6!3!1!6!3!3!2!1!1!0!3!2!1!W- ! ';'; Penyelesaian ';'; | *huruf S, 2 huruf U, 2 huruf N dan 1 huruf A. Seperti halnya Contoh 3.1.10, masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 2 huruf S, 2 huruf ; * % | % " | | (1)(2)(3)(4)(5)(6)|q. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut. * ' | sama dengan C| *q– Berikutnya, karena 2 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf U ke dalam 5 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(5,2).' $ * kedalam 3 kotak yang tersisi, sehingga banyak cara adalah C(3,2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1,1).Dengan aturan perkalian, diperoleh cara penyusunan kata yang disusun dari kata ’SUSUNAN” adalah C| *q C(5,2) C(3,2) C% %qW7!5!3!1!7!2!5!2!3!2!1!1!0!2!2!2!1!W^Contoh 3.1.11Matematika115\ ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.10 dan Contoh 3.1.11, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan berkaitan dengan permutasi untuk beberapa unsur yang sama. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi n1, n2, n3, . . . nk unsur dari n Mari kita menurunkan rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1 pertama, n2 n3 nk k (nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk).116Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKUntuk menentukan masalah banyak permutasi ini, maka masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan n1 n2 kedua, n3 nk k ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan n tempat ini dapat diilustrasikan sebagai n kotak berikut. (1)(2)(3). . .(n). . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan n1 pertama ke dalam n kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(n, n1) cara dan tersisa n – n1 kotak.– Berikutnya, letakkan n2 n – n1 kotak yang tersisa, maka terdapat sebanyak C(n – n1, n2) cara, dan tersisa n – n1 – n2.– ' n3 n – n1 – n2 kotak tersisi, sehingga terdapat sebanyak C(n – n1 – n2 , n3).– Kemudian dilakukan peletakan n4 hingga terakhir meletakkan nk k ke dalam n – n1 – n2 – n3 – . . . – nk–1Wnk kotak yang tersisa dengan C(n – n1 – n2, n3 – . . . – nk – 1 – nk, nk) cara.Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak permutasi n unsur yang terdiri dari n1 n2 n3 nk k sama dengan C(n, n1) · C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2, n3) . . . C(n – n1 – n2 – . . . – nk–1, nk)W1211112112123123(.)!()!()!!()!!()!!()!!0!kknnn . .nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnW1123!!!...!knnnnnJadi rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1 n2unsur n3 nk k (nWn1 + n2 + r3 + . . . + nk) adalah 1123!!!...!knnnnn.Matematika117 Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan beberapa unsur yang sama.Kesimpulan Setelah Anda menemukan rumus untuk permutasi n unsur yang terdiri dari n1 n2 n3 nk k (nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk) yaitu secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan masalah permutasi dengan unsur yang sama, kemudian saling menukar soal ' \ n!n1!n2!n3! . . . nk!,118Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapan nya permutasi n unsur, yaitu P(n,nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah ' ! (lurus). Sebagai contoh, apabila kita ingin menyusun 3 unsur A, B, C, maka ^W &ABCACBBACBCACABCBA Akan tetapi, apabila kita susun secara melingkar maka ketiga susunan q + (circular permutation).' berikut. Matematika119" ! ! berikut.Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C.PenyelesaianSalah satu susunan permutasi siklis adalah A, B, C (A unsur paling atas/depan). yang ekuivalen dengan B, C , A (B unsur paling atas/depan) C, A, B (C unsur paling atas/ depan). Akan tetapi ketiga permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda, yaitu A, B, CB, C, AC, A, B+ A, C, BB, A, CC, B, AContoh 3.1.12120Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKIni berarti 1 susunan permutasi siklis berkorespondensi dengan 3 susunan permutasi mendatar. Jadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari 3 unsur A, B, C adalah 3! W! ^ dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 3 unsur adalah 3!3W*W*! Tentukan banyak permutasi siklis dari 4 unsur.PenyelesaianMisalkan 4 unsur itu diberi nama x1, x2, x3, x4. Maka salah satu susunan permutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4 (x1 unsur paling atas/depan). Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2 dan urutannya seperti di atas, yaitu x2, x3, x4, x1 yang ekuivalen dengan susunan sebelumnya. Contoh 3.1.13Next >