< PreviousMATEMATIKA153A. Pengantar Bab 2, ini berisi materi Persamaan dan Fungsi Kuadrat yang disajikan dalam empat subbab yaitu:- Persamaan Kuadrat.- Grafik Fungsi Kuadrat.- Sumbu Simetri dan Nilai Optimum.- Menentukan Fungsi Kuadrat.- Aplikasi Fungsi Kuadrat. Guru sebisa mungkin mengarahkan siswa untuk menemukan konsep mengenai persamaan dan fungsi kuadrat melalui kegiatan-kegiatan yang disajikan dalam Buku Siswa. Guru juga harus mengupayakan adanya internalisasi KI-1 dan KI-2 dalam kegiatan pembelajaran.B. Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Berikut ini adalah KI, KD dan Indikator Pencapaian Kompetensi Bab 2 Persamaan dan Fungsi Kuadrat. KI dan KD ini berdasarkan revisi KI dan KD pada tanggal 21 Oktober 2015 sedangkan indikator yang tercantum pada buku ini dapat dikembangkan lagi oleh guru. Persamaan dan Fungsi KuadratBab II154Buku Guru Kelas IX SMP/MTsTabel 1.1. KI, KD dan Indikator Pencapaian Kompetensi Bab 2Kompetensi Inti1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya.3. Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata.4. Mengolah, menyaji, dan menalardalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.Kompetensi Dasar3.2 Menjelaskan persamaan kuadrat dan karakteristiknya berdasarkan akar-akarnya serta cara penyelesaiannya.3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat dengan menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.3.4 Menjelaskan hubungan antara koefisien dan diskriminan fungsi kuadrat dengan grafiknya.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.4.3 Menyajikan fungsi kuadrat menggunakan tabel, persamaan, dan grafik.4.4 Menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kuadrat.MATEMATIKA155Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 3.23.2.1 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.3.2.2 Mengidentifikasi jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya.3.2.3 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.3.2.4 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratik (rumus abc).3.2.5 Mengidentifikasi karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan melihat nilai Diskriminannya.Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 3.33.3.1 Menentukan nilai optimum dari fungsi kuadrat.3.3.2 Membuat sketsa garfik fungsi kuadrat.Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 3.43.4.1 Menjelaskan pengaruh dari koefisien x2 pada fungsi kuadrat f(x) terhadap karakteristik dari grafik fungsi f(x).3.4.2 Mengidentifikasi sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat f(x) dengan memperhatikan nilai dari koefisien x2 dan x.3.4.3 Menjelaskan hubungan antara nilai diskriminan dan titik potong grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x. Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 4.24.2.1 Menyajikan masalah kontekstual dalam bentuk persamaan kuadrat.4.2.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.Indikator Pencapaian Kompetensi Dasar 4.34.3.1 Menentukan fungsi kuadrat jika sudah diketahui grafiknya.4.3.2 Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak, titik potong, sumbu simetri atau beberapa titik pada persamaan kuadrat.156Buku Guru Kelas IX SMP/MTsIndikator Pencapaian Kompetensi Dasar 4.44.4.1 Menyajikan masalah kontekstual dalam bentuk fungsi kuadrat.4.4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. C. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi pada Bab 2 ini, siswa diharapkan dapat:3.2.1 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, jika diberikan persamaan kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.2.2 Mengidentifikasi jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisiennya, jika diberikan persamaan kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.2.3 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, jika diberikan persamaan kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.2.4 Menentukan akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadratik (rumus abc), jika diberikan persamaan kuadrat dengan teliti.3.2.5 Mengidentifikasi karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan melihat nilai diskriminannya, jika diberikan persamaan kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.3.1 Menentukan nilai optimum dari fungsi kuadrat, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.3.2 Membuat sketsa garfik fungsi kuadrat, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.4.1 Menjelaskan pengaruh dari koefisien x2 pada fungsi kuadrat f(x) terhadap karakteristik dari grafik fungsi f(x), jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.4.2 Mengidentifikasi sumbu simetri dari grafik fungsi kuadrat f(x) dengan memperhatikan nilai dari koefisien x2 dan x, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.3.4.3 Menjelaskan hubungan antara nilai diskriminan dan titik potong grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.MATEMATIKA1574.2.1 Menyajikan masalah kontekstual dalam bentuk persamaan kuadrat, jika diberikan masalah kontekstual dan dikerjakan secara teliti. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, jika diberikan masalah kontekstual dan dikerjakan secara teliti. 4.3.1 Menentukan fungsi kuadrat jika sudah diketahui grafiknya, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.4.3.2 Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak, titik potong, sumbu simetri atau beberapa titik pada persamaan kuadrat, jika diberikan fungsi kuadrat dan dikerjakan secara teliti.4.4.1 Menyajikan masalah kontekstual dalam bentuk fungsi kuadrat, jika diberikan fungsi kontekstual dan dikerjakan secara teliti.4.4.2 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, jika diberikan fungsi kontekstual dan dikerjakan secara teliti.D. Materi Pembelajaran dan Alokasi Waktu Pembelajaran dan penilaian Bab 4 ini memerlukan waktu 20 jam pelajaran (JP) atau 8 kali tatap muka (TM), dengan asumsi 5 JP/minggu diorganisasikan menjadi dua kali TM, yaitu 3 JP dan 2 JP. Pembagian 20 JP tersebut adalah sebagai berikut:Tabel 1.2. Materi Pembelajaran dan Alokasi WaktuMateriAlokasi WaktuPersamaan Kuadrat3 JPGrafik Fungsi Kuadrat2 JPSumbu Simetri dan Nilai Optimum3 JPMenentukan Fungsi Kuadrat2 JPAplikasi Fungsi Kuadrat3 JPTes Tulis (Ulangan Harian) dan Pembahasan2 JP158Buku Guru Kelas IX SMP/MTsE. Materi EsensialPersamaan KuadratMateri Esensi 2.1 Persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua. Secara umum, bentuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ∈ R. Konstanta a, b, c pada persamaan ini disebut sebagai koefisien. Beberapa contoh persamaan kuadrat yaitu: 3x2 – 7x + 5 = 0, x2 – x + 12 = 0, x2 – 9 = 0, 2x(x – 7) = 0 dan lainnya. Akar persamaan kuadrat dari ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu:(1) Memfaktorkan(2) Melengkapi Kuadrat Sempurna(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc)Dalam hal ini rumus kuadratik (Rumus abc) adalahx1,2 = 242bbaca−±− Karakteristik dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari koefisen persamaannya. Berikut karakteristik-karakteristik dari persamaan kuadrat berdasarkan koefisien-koefisien persamaan kuadratnya:- Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka x1 + x2 = –ba dan x1 x2 = ca.- Misal suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminannya adalah D = b2 – 4ac maka untuk D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, D = 0 persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar, D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar berbeda.MATEMATIKA159Grafik Fungsi KuadratMateri Esensi 2.2 Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat menyerupai parabola, sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.y = –x2y = x2y = 2x2yx–3–2–1–112345–2–3–4–5123Gambar Perbandingan Grafik fungsi kuadrat y = x2, y = –x2 dan y = 2x2Nilai a pada fungsi y = ax2 + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif maka grafiknya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih “kurus”.160Buku Guru Kelas IX SMP/MTs1–1–112345xy = x2 − 3x + 2y = x2 − 2xy = –x2 − 5x − 4–2–3–4–5–2–3–4–52345yGambar Perbandingan Grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x, y = x2 – 3x + 2 dan y = –x2 – 5x – 4 Garis putus-putus pada gambar di atas menerupakan sumbu simetri. Koordinat yang ditandai dengan bulatan merupakan titik puncak sedangkan koordinat yang ditandai dengan persegi merupakan titik potong dengan sumbu-y.Nilai b pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan letak koordinat titik puncak dan sumbu simetri (titik puncak dan sumbu simetri dibahas lebih lanjut pada subbab selanjutnya). Jika a > 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0, grafik y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak maksimum.Nilai c pada grafik y = ax2 + bx + c menunjukkan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu-y, yakni pada koordinat (0, c).MATEMATIKA161Menentukan Sumbu Simetri dan Titik OptimumMateri Esensi 2.3 Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai sumbu simetribxa=−=−=Dengan nilai optimumnya adalahy0 = 4Da−Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat:Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah).Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaanf(x1) = 0Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaany1 = f(0)Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3), dan (4).Menentukan Fungsi KuadratMateri Esensi 2.4 Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan beberapa informasi, di antaranya sebagai berikut. 1. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut. 2. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x. 3. Titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y. 4. Titik puncak dan sumbu simetri. Langkah pertama untuk mendapatkannya adalah dengan memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax2 + bx + c. Berikut ini adalah langkah selanjutnya berdasarkan informasi-informasi di atas.162Buku Guru Kelas IX SMP/MTs 1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain. Jika fungsi kuadrat tersebut melalui koordinat (p, q), maka diperoleh f(p) = q. 2. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-x. Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-x di (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a(x − p)(x − q). 3. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu-y. Jika fungsi kuadrat memotong sumbu-y di (0, r) maka diperoleh f(0) = r Dengan mensubstitusikan nilai 0 pada f(x) diperoleh f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c. Sehingga diperoleh c = r. 4. Jika diketahui titik puncak dan sumbu simetri. Jika fungsi kuadrat kuadrat tersebut memiliki titik puncak di (s, t) maka diperoleh sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garisx = s Selanjutnya jika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui (e, d) maka dengan menggunakan sifat simetri diperoleh titik koordinat yang lain hasil pencerminan koordinat (e, d) terhadap garis x = s.Aplikasi Fungsi KuadratMateri Esensi 2.5 Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat.Langkah 1. Tentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel yang bebas yaitu x.Langkah 2. Jika model y = ax2 + bx + c tidak diketahui maka bentuklah model y = ax2 + bx + c dari permasalahan.Langkah 3. Tentukan nilai optimum dari model yang didapatkan pada Langkah 2.Next >