< PreviousMATEMATIKA163F. Kegiatan Pembelajaran Guru dapat menerapkan pembelajaran Inquiry, Discovery Learning, atau pun Problem Based Learning (PBL) dan pembelajaran kooperatif yang prosesnya berbasis pendekatan scientific dan pendekatan kontekstual pada pembelajaran Bab Persamaan dan Fungsi Kuadrat ini. Dalam pembelajaran guru sangat diharapkan selalu menginternalisasi nilai-nilai spiritual dan nilai-nilai moral dan sikap yang positif. Misalkan, ketika menjumpai Kegiatan, Contoh Soal, Gambar dan Latihan Soal dan lain-lain dalam Buku Siswa Matematika yang bisa diarahkan untuk menginternalisasi nilai-nilai tersebut, diharapkan guru mampu mengimprovisasi pembelajaran sehingga lebih bermakna, Misalnya dengan diarahkan pada kesadaran kebesaran Tuhan dan nilai-nilai moral dan sikap yang baik.Materi Bagian I, Persamaan Kuadrat (1 TM, 3JP)Kegiatan 1Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan1. Pendahuluan Guru memberikan apersepsi dan motivasi dengan memberikan contoh permasalahan yaitu ajukan pertanyaan berikut ke siswa“Berapakah nilai a dan b dengan a × b = 0?”. Guru mengarahkan bahwa jawabannya adalah a = 0 atau b = 0. Kemudian, guru memberikan permasalahan lanjutan yaitu mengajukan pertanyaan berikut ke siswa“Berapakah nilai x dengan (x – 1)(x – 2) = 0?”. Lalu guru mengarahkan bahwa jawabannya adalah x = 1 atau x = 2. Selanjutnya, guru menjelaskan bahwa nilai x yang memenuhi persamaan (x – 1)(x – 2) = 0 adalah akar-akar dari persamaan tersebut, atau memberikan penjelasan bahwa “akar-akar dari persamaan x2 – 3x + 2 = 0 adalah 1 dan 2 atau penyelesaian dari persamaan x2 – 3x + 2 = 0 adalah x = 1 atau x = 2”. Kemudian guru menjelaskan bahwa pada bagian ini akan dipelajari cara membentuk x2 – 3x + 2 menjadi (x – 1)(x – 2) atau dalam hal ini memfaktorkan x2 – 3x + 2.2. Guru meminta siswa mengamati bagian “Ayo Kita Amati” dan mengisi bagian kosong pada kegiatan tersebut.164Buku Guru Kelas IX SMP/MTs3. Guru menyampaikan kepada siswa untuk mengerjakan pada bagian “Ayo Kita Mencoba”. 4. Guru meminta siswa untuk menalar dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan pada “Ayo Kita Menalar”.5. Guru meminta siswa untuk mengajukan pertanyaan dengan melakukan perintah yg sesuai dengan “Ayo Kita Menanya”.IntiGuru mengarahkan siswa untuk mengisi dan menjawab pertanyaan pada bagian di bawah ini. Sebagai petunjuk untuk jawabannya lihat tulisan yang berwarna biru.Ayo Kita AmatiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat x2 + bx + c menjadi (x + p)(x + q) atau bisa dituliskan x2 + bx + c = (x + p)(x + q) x2 + bx + c = x2 + (p + q)x + (p × q) Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = p + q dan c = p × qBerdasarkan pengamatanmu, maka lakukan pemfaktoran berikut dan tentukan akar-akarnya.Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat: x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalahMATEMATIKA165pqpqp + q1667236532656167–1–66–7–2–36–5–3–26–5–6–16–7 Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 5, maka berdasarkan tabel pada baris kedua didapat p = 2 dan q = 3 atau berdasarkan pada baris ketiga dituliskan p = 3 dan q = 2 (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannya x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Dengan demikian akar-akarnya adalah x = –2 dan x = –3• Persamaan kuadrat: x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = 1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah:pqpqp + q1–6–6–52–3–6–13–2–616–1–65–16–65–23–61–32–6–1–61–6–5166Buku Guru Kelas IX SMP/MTs Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = 1, maka berdasarkan tabel di atas pada baris ketiga didapat p = 3 dan q = –2 atau berdasarkan pada baris keenam dituliskan p = –2 dan q = 3 (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannyax2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = –3 dan x = 2• Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga p + q = –1 dan pq = –6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = –6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalahpqpqp + q1–6–6–52–3–6–13–2–616–1–65–16–65–23–61–32–6–1–61–6–5 Kemudian karena juga harus memenuhi p + q = –1, maka berdasarkan tabel tersebut pada baris kedua didapat p = 2 dan q = –3 atau berdasarkan pada baris ketujuh dituliskan p = –3 dan q = 2 (dua hasil ini merupakan hasil yang sama). Sehingga didapat pemfaktorannyax2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3) Dengan demikian, akar-akarnya adalah x = –2 dan x = 3.MATEMATIKA167Ayo Kita MenalarDengan melakukan kegiatan di atas anda dapat melakukan pemfaktoran dan penyelesaikan persamaan kuadrat. Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah x2 + 2x – 1 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Mengapa? Tidak bisa menggunakan metode ini karena sulit menentukan nilai p danq yaitu yang memenuhi adalah p = 282+ dan p = 282−. Nilai p dan q seperti ini sangat sulit ditentukan dengan menggunakan sistem coba-coba seperti di atas.Bagaimana kalau persamaan kuadratnya adalah 2x2 – 2x – 12 = 0? Bisakah anda menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran? Jelaskan? (Petunjuk: uraikan terlebih dahulu 2x2 – 2x – 12 menjadi 2(x2 – x – 6) ). Tuliskan langkah-langkah menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran. Bisa diselesaikan dengan metode diatas yaitu dengan membagi dengan 2 kedua ruas yaitu didapatkan persamaan kuadrat baru x2 – x – 6 = 0. Dengan menggunakan metode pemfaktoran didapat (x + 2)(x – 3)=0, sehingga x = –2 atau x = 3. Melihat cara penyelesaian dari contoh ini, didapat langkah menentukan akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0, yaitu bagi kedua ruas dengan a dan kemudian faktorkan dengan cara yang sudah dibahas sebelumnya.Jumlahan dan Hasil Kali Akar-akar dari Persamaan KuadratPada langkah penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (bisa ditulis x2 + ba x + ca = 0) menggunakan pemfaktoran harus ditentukan p dan q sedemikianhingga memenuhi x2 + bax + ca = (x + p)(x + q) x2 + bax + ca = x2 + (p + q)x + (p × q)Dengan cara ini didapatkan penyelesaiannya adalah x1 = –p dan x2 = –q sehingga x1 + x2 = –p – q = –(p + q) = –-ba dan x1.x2 = (–p)(–q) = pq = ca. Dari uraian ini didapat rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.168Buku Guru Kelas IX SMP/MTsAyo Kita MenanyaTerkait dengan fokus perhatian di atas, buatlah suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, dan c tertentu (kalian tentukan sendiri). Dan tanyakan pada teman sebangkumu apakah persamaan yang kamu buat tersebut dapat diselesaikan dengan metode pemfaktoran? Jika bisa selesaikan.Contohnya persamaannya adalah x2 + 3x + 2 = 0 yaitu dapat ditentukan akar-akarnya dengan menggunakan metode pemfaktoran.Penutup:Guru membimbing siswa untuk menarik kesimpulan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran. Guru juga mengarahkan siswa untuk bisa menarik kesimpulan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dengan jumlahan dan hasil kali akar-akarnya. Persamaan yang diharapkan untuk didapatkan rumusnya adalah x1 + x2 = dan x1 x2 = ca dengan x1, x2 akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0.Kegiatan 2Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat SempurnaPendahuluan1. Guru memberikan apersepsi dan motivasi dengan memberikan contoh permasalahan yaitu ajukan pertanyaan berikut ke siswa “Berapakah akar-akar dari x2 = 4?”. Guru mengarahkan bahwa jawabannya adalah x = ±4 = ± 2 (x = 2 atau x = –2). Kemudian memberikan permasalahan lanjutan yaitu mengajukan pertanyaan berikut ke siswa “Berapakah nilai x dengan (x – 1)2 – 4 = 0?”. Lalu guru mengarahkan bahwa jawabannya adalah x = 1 ±4 = 1 ± 2 (x = –1 atau x = 3). Untuk lebih jelasnya arahkan siswa untuk membaca bagian “Ayo Kita Amati”.MATEMATIKA1692. Guru meminta siswa membaca pada bagian “Ayo Kita Gali Informasi” dan mengisi bagian kosong pada bagian tersebut untuk memahami cara melengkapkan kuadrat sempurna.3. Guru menyampaikan ke siswa untuk mengerjakan pada bagian “Ayo Kita Mencoba”. 4. Guru meminta siswa untuk mengajukan pertanyaan dengan melakukan perintah yg sesuai dengan “Ayo Menanya”.5. Guru meminta siswa untuk menalar dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan pada “Ayo Kita Menalar” dan mengisi bagian yang kosong supaya siswa mengetahui bagaimana cara mendapatkan rumus kuadratik dan menganalisis hubungan anatara nilai diskriminan dan banyaknya akar-akar persamaan kuadrat dengan melakukan “Ayo Kita Amati”.6. Guru meminta siswa untuk menyimpulkan hasil dari kegiatan dengan menjawab pada bagian “Ayo Kita Simpulkan”.IntiGuru mengarahkan siswa untuk mengisi dan menjawab pertanyaan pada bagian di bawah ini. Sebagai petunjuk untuk jawabannya lihat tulisan yang berwarna biru.Ayo Kita Amati1. Akar persamaan kuadrat x2 = 4 Dengan mudah dapat dihitung bahwa persamaan kuadrat x2 = 4 mempunyai akar-akar x = 4atau x = –4dan dapat disederhanakan menjadi x = 2 atau x = –2. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwaJika x2 = k, dengan k suatu bilangan tak negatif, maka x = k atau x = – k.2. Akar persamaan (x + 5)2 = 16 Sesuai sifat akar kuadrat maka diperoleh x + 5 = ± 4. Sehingga, x = ± 4 – 5 yang menunjukkan ada dua akar, yaitu170Buku Guru Kelas IX SMP/MTs x = 4 – 5 atau x = –4 – 5 x = –1 atau x = –9Jika (x + a)2 = k, dengan k suatu bilangan tak negatif dan a bilangan real, maka x = –a + k atau x = –a – k. Bagian 1 dan 2 di atas dinamakan sebagai bentuk kuadrat sempurna atau secara umum dituliskan sebagai (x + p)2 + q = 0. Metode yang telah kalian pelajari sebelumnya relatif mudah untuk diterapkan. Akan tetapi tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara langsung menggunakan metode tersebut. Sehingga kita harus mengembangkan metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lain. Bagaimana jika ada soal-soal persamaan kuadrat seperti berikut? Tentukan akar persamaan kuadrat berikut dengan membentuk kuadrat sempurna terlebih dahulu. 1. x2 – 5 = 0 4. x2 + 5x + 3 = 0 2. x2 + 10x + 24 = 0 5. x2 – 37 = 0 3. x2 – 8 = 0 6. 2x2 + 7x + 3 = 0 Untuk menyelesaikan masalah di atas, ayo amati kegiatan berikut.Ayo Kita Gali InformasiTahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 + q = 0 (jika diuraikan menjadi x2 + 2px + p2 + q = 0).Untuk bentuk kuadrat sempurna, koefisien dari x2 adalah 1 maka persamaan kuadrat yang akan diselesaikan (ax2 + bx + c = 0) harus dibagi a supaya koefisien dari x2 juga 1. Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang ingin diselesaikan adalah20bcxxaa++=. Langkah berikutnya adalah mencari nilai p dan q sedemikianhingga memenuhiMATEMATIKA171 ()22bcxxxpqaa++=++ 2222bcxxxpxpqaa++=+++Jadi untuk membentuk kuadrat sempurna harus dicari bilangan p dan q sedemikianhingga ba= 2p dan ca = p2 + q atau lebih sederhana didapatkan p = 2ba danq = 22cbaa−.Ayo Kita Mencoba• Persamaan kuadrat : x2 + 5x + 6 = 0 Didapat b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = 2p dan ca = p2 + q. Dalam hal ini didapat p = 52 dan q = sehingga bisa dituliskan x2 + 5x + 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + 52)2 – 1-4 = 0 (x + 52)2 = 1-4 x + 52 = ± 12 x = –52 ± 12 x1 = –52 + 12 = = –2 x2 = –52 – 12 = = –3172Buku Guru Kelas IX SMP/MTs• Persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Didapat b = 1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = 2p dan ca = p2 + q. Dalam hal ini didapat p = 12 dan q = –254 sehingga bisa dituliskan x2 + x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x + ...)2 – 254 = 0 (x + 12)2 = 254 x + 12 = ± 52 x = -12 ± 52 • Persamaan kuadrat : x2 – x – 6 = 0 Didapat b = –1 dan c = –6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga ba = 2p dan ca = p2 + q. Dalam hal ini didapat p = –12 dan q = –254 sehingga bisa dituliskan x2 – x – 6 = 0 (x + p)2 + q = 0 (x – 12)2 – 254 = 0 (x – 12)2 = 254 x – 12 = ± 52 x = 12 ± 52 x1 = 12 + 52 = 3 x2 = 12 – 52 = –2Next >