< PreviousMATEMATIKA193Ayo Kita Gali InformasiBerikut adalah langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat dengan menggunakan sifat-sifat yang telah dibahas pada bagian sebelumnya.1. Periksalah, apakah bentuk parabola grafik fungsi di atas terbuka ke atas atau ke bawah! (dengan melihat nilai dari koefisien x2)2. Tentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) yang memenuhi persamaanf(x1) = 0 (Perhatikan apakah persamaan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak, jika tidak apa yang bisa kamu simpulkan? (ingat kembali pada materi sebelumnya yaitu tentang hubungan antara diskriminan dan penyelesaian dari persamaan kuadrat))3. Tentukan perpotongan grafik terhadap Sumbu-Y; yaitu,koordinat titik potongnya adalah (0, y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaany1 = f(0)4. Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum grafik fungsi di atas.5. Dari informasi yang didapatkan, sketsalah grafik fungsi kuadrat di atas.Ayo Kita BerbagiDiskusikan dengan temanmu, bagaimana bentuk grafik f(x) = x dan f(x) = –x?Bandingkan grafiknya dengan grafik persamaan kuadrat. Apa yang bisa kamu dapatkan dari analisis ini?Arahkan siswa untuk berdiskusi dengan teman satu bangkunya. Dan setelah itu tunjuk satu siswa untuk maju ke depan menjelaskan hasil diskusinya. Arahkan siswa untuk menyimpulkan bahwa hasil grafiknya nanti berupa parabola yang mirip dengan grafik fungsi y = x2 tetapi parabolanya menghadap ke kanan dan untuk f(x) = x gambar grafiknya bagian atas dan f(x) = –x gambar grafiknya bagian bawah.194Buku Guru Kelas IX SMP/MTsAyo Kita MenanyaBuatlah fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c, lalu mintalah teman sebangkumu untuk menggambar grafik dari fungsi tersebut.Misal fungsinya adalah y = x2 + 2x + 1. Arahkan ke siswa untuk meminta ke teman sebangkunya menggambar grafik dari fungsi tersebut. Arahkan juga siswa untuk mengamati langkah demi langkah yang dilakukan teman sebangkunya.Penutup:Guru membimbing siswa memahami cara mensketsa grafik fungsi sesuai dengan langkah-langkah yang sudah diberikan pada “Ayo Kita Gali Informasi”. Guru juga mengarahkan siswa untuk bisa menarik kesimpulan mengenai gambar grafik dari y = x dan y = –x dan dapat menentukan hubungannya dengan grafik y = x2. Materi Bagian IV, Menentukan Fungsi Kuadrat (1 TM, 2JP)Kegiatan 1Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan GrafiknyaPendahuluan1. Guru memberikan apersepsi dan motivasi dengan memberikan contoh permasalahan yaitu memberikan gambar grafik di bawah ini kemudian mintalah siswa untuk mencari beberapa informasi dari grafik tersebut.2. Guru meminta siswa untuk berdiskusi dengan teman sebangkunya yang sesuai dengan bagian “Diskusi”.IntiGuru mengarahkan siswa untuk mengisi dan menjawab pertanyaan pada bagian di bawah ini. Sebagai petunjuk untuk jawabannya lihat tulisan yang berwarna biru.MATEMATIKA195Ayo Kita Gali Informasi Pada bagian ini arahkan siswa untuk membentuk fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dari informasi gambar grafiknya. Arahkan pola pikir siswa bahwa untuk mendapatkan nilai a, b, dan c diperlukan paling tidak tiga persamaan sehingga harus dicari minimal tiga titik yang dilalui grafik tersebut.Gambar di samping merupakan grafik suatu fungsi–11x–112345y–2–3–4 kuadrat. Dapatkah kamu menentukan suatu fungsi yang grafiknya seperti gambar di samping?a. Informasi apakah yang kamu peroleh dari grafik di samping? Grafik berbentuk Parabola yang menghadap ke atas, tidak memotong sumbu-x dan memotong sumbu-y pada titik (0, 3). b. Apakah grafik di samping memotong sumbu-x? tidakc. Pada koordinat mana grafik di samping memotong sumbu-y? Pada koordinat (0, 3)DiskusiDiskusikan dengan temanmu tiga pertanyaan pada pertanyaan di atas. Kemudian diskusikan pertanyaan berikut.a. Berdasarkan jawaban tiga pertanyaan di atas, apakah kamu dapat menentukan fungsi kuadrat sesuai grafiknya? Tidak, karena masih satu titik yang diketahui.b. Minimal berapa koordinat yang harus diketahui agar kamu bisa menentukan tepat satu fungsi kuadrat berdasarkan grafik? Minimal 3 titik atau ada kasus khusus sehingga hanya memerlukan dua titik untuk menentukan fungsi kuadrat (Hal ini akan dipelajari lebih lanjut pada bagian selanjutnya).196Buku Guru Kelas IX SMP/MTsPenutup:Guru membimbing siswa untuk membentuk fungsi kuadrat berdasarkan gambar grafiknya dan mengarahkan untuk menarik kesimpulan bahwa untuk mendapatkan fungsi kuadrat diperlukan minimal 3 titik. Setiap titik akan menghasilkan satu persamaan dengan 3 variabel sehingga untuk mendapatkan penyelesaiannya diperlukan 3 persamaan dan hal ini ekivalen dengan adanya 3 titik.Kegiatan 2Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Titik Potong Sumbu-xPendahuluan1. Guru memberikan apersepsi dan motivasi dengan memberikan contoh permasalahan yaitu ajukan pertanyaan berikut kepada siswa “Apa titik potong terhadap sumbu-x dari grafik fungsi f(x) = x2 – 3x + 2?” Guru mengarahkan bahwa titik potong terhadap sumbu-x adalah keadaan y bernilai 0 sehingga harus dicari nilai x sedemikian hingga memenuhi x2 – 3x + 2 = 0. Sehingga ini erat kaitannya dengan akar-akar persamaan kuadrat. Setelah guru memberikan motivasi ini, mintalah siswa menjawab pertanyaan “Ayo Kita Gali Informasi”.2. Guru meminta siswa untuk berdiskusi dengan teman sebangkunya mengenai permasalahan yang terdapat pada “Diskusi”. 3. Guru meminta ke siswa untuk menyimpulkan apa yang didapat dari kegiatan ini dengan mengisi bagian kosong pada bagian “Ayo Kita Simpulkan”. IntiGuru mengarahkan siswa untuk mengisi dan menjawab pertanyaan pada bagian di bawah ini. Sebagai petunjuk untuk jawabannya lihat tulisan yang berwarna biru. Kamu sudah mengetahui cara mendapatkan akar-akar fungsi kuadrat f(x) = 0. Diberikan fungsi kuadrat berikut.i. f(x) = x2 + 3x + 4ii. f(x) = x2 + 4x + 4iii. f(x) = x2 − 6x + 5MATEMATIKA197Ayo Kita Gali Informasia. Tentukan akar-akar tiap-tiap persamaan kuadrat f(x) = 0. Tentukan persamaan f(x) = 0 yang tidak memiliki akar, persamaan f(x) = 0 yang memiliki satu akar, dan persamaan f(x) = 0 yang memiliki dua akar. Penyelesaian: Akar-akar dari persamaan kuadrat f(x) = 0 untuk fungsi kuadrat i. f(x) = x2 + 3x + 4 tidak ada karena D < 0. ii. f(x) = x2 + 4x + 4 adalah –2 yaitu hanya ada satu akar. iii. f(x) = x2 – 6x + 5 adalah 1 dan 5 yaitu mempunyai dua akar.b. Gambarkan grafik tiap-tiap fungsi kuadrat. Gambarkan berdasarkan langkah-langkah pada subbab sebelumnya.c. Tentukan fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu-x, fungsi yang memotong sumbu-x di satu titik dan yang memotong sumbu-x di dua titik.i. Grafik fungsi f(x) = x2 + 3x + 4 tidak memotong sumbu-x karena D < 0.ii. Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x + 4 memotong sumbu-x di satu titik.iii. Grafik fungsi f(x) = x2 – 6x + 5 memotong sumbu-x di dua titik.d. Apa yang dapat kamu simpulkan mengenai hubungan akar-akar persamaan f(x) = 0 dengan titik potong sumbu-x? Jika persamaan f(x) = 0 tidak memiliki akar-akar yakni D < 0 maka grafik fungsi f(x) = 0 tidak memotong sumbu x. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki satu akar yakni D = 0 maka grafik fungsi f(x) = 0 memotong sumbu x pada satu titik. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki dua akar yakni D > 0 maka grafik fungsi f(x) = 0 memotong sumbu x pada dua titik. DiskusiMisalkan terdapat dua fungsi kuadrat. y = x2 + 3x + 2 dan y = 2x2 + 6x + 4 = 2(x2 + 3x + 2)198Buku Guru Kelas IX SMP/MTsDiskusikan beberapa pertanyaan berikut.a. Tentukan akar-akar untuk persamaan f(x) = 0 untuk fungsi-fungsi kuadrat di atas. Apakah hasilnya sama untuk kedua fungsi-fungsi di atas? Kedua fungsi sama-sama memiliki akar-akar x = –1 dan x = –2.b. Gambarkan grafik tiap-tiap fungsi kuadrat. Apakah kedua fungsi kuadrat tersebut memiliki grafik yang sama? Tidak memiliki grafik yang sama.c. Apa yang dapat kamu simpulkan? Bahwa jika ada dua grafik dari fungsi kuadrat dengan titik potong terhadap sumbu-x sama maka fungsi dari kedua grafik tersebut belum tentu sama. Contohnya adalah fungsi yang disebutkan di atas.d. Jika diketahui akar-akar dari persamaan f(x) = 0, apakah kamu pasti selalu bisa menentukan fungsi kuadratnya? Tidak pasti. Tapi jika akar-akarnya adalah p dan q maka dapat ditulis bentuk umumnya adalah y = a(x – p)(x – q).Ayo Kita SimpulkanJika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan y = 0 memiliki akar-akar x = p dan x = q dengan p ≠ q maka grafik fungsi kuadrat tersebut akan memotong sumbu-x pada koordinat (p, 0) dan (q, 0). Bentuk umumnya adalah y = a(x – p)(x – q)Penutup:Guru membimbing siswa untuk menarik kesimpulan mengenai hubungan antara persamaan kuadrat f(x) = 0 dengan titik potong terhadap sumbu-x. Guru juga mengarahkan siswa untuk bisa menarik kesimpulan mengenai bentuk umum fungsi kuadrat jika diketahui titik potong terhadap sumbu-x.Kegiatan 3Menentukan Fungsi Kuadrat dari Beberapa InformasiPendahuluan1. Guru memberikan apersepsi dan motivasi dengan memberikan contoh permasalahan yaitu ajukan pertanyaan berikut ke siswa “Tentukan fungsi kuadrat jika grafik dari fungsi tersebut melalui titik (1, 0), (2, 0) dan (0, 3)”.MATEMATIKA199 Guru mengarahkan bahwa dari 3 titik ini didapat tiga persamaan yaitu a + b + c = 0 4a + 2b + c = 0 c = 3 Kemudian guru menjelaskan bahwa dengan menyelesaikan 3 persamaan tersebut didapat fungsi kuadrat yaitu f(x) = 239222xx−+.2. Guru meminta siswa untuk mengamati dan mengisi bagian yang kosong pada empat cara menentukan fungsi kuadrat berdasarkan informasi-informasi yang diberikan. Kemudian mintalah siswa untuk menarik kesimpulan dengan mengisi bagian kosong pada “Ayo Kita Simpulkan”. IntiGuru mengarahkan siswa untuk mengisi dan menjawab pertanyaan pada bagian di bawah ini. Sebagai petunjuk untuk jawabannya lihat tulisan yang berwarna biru. Pada kegiatan ini kamu akan mempelajari dan menganalisis bagaimana cara menentukan fungsi kuadrat dari beberapa informasi. Informasinya adalah sebagai berikut. a. Titik potong dengan sumbu-x. b. Titik potong dengan sumbu-y. c. Titik puncak dan sumbu simetri.d. Beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut.Berdasarkan Kegiatan 1 dan 2, kamu masih belum bisa menentukan fungsi kuadrat jika hanya diketahui satu informasi dari empat informasi di atas.1. Jika diketahui tiga koordinat berbeda Perhatikan gambar di samping. Misalkan terdapat suatu fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga koordinat berbeda, yakni (0, 1), (1, 3), dan (2, 7).7654321–11–123xy200Buku Guru Kelas IX SMP/MTsApakah kamu dapat menentukan fungsi kuadrat berdasarkan tiga koordinat yang diketahui? Bagaimana caranya?Perhatikan langkah-langkah berikut.a. Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b. Karena melewati koordinat (0, 1), (1, 3) dan (2, 7) diperoleh f(0) = 3, f(1) = 3 dan f(2) = 7. - f(0) = a(0)2 + b(0) + c = 1 → c = 1. Diperoleh f(x) = ax2 + bx + 1 - f(1) = a(1)2 + b(1) + 1 = 3 → a + b + 1 = 3. Diperoleh persamaan a + b = 2 ... (1) - f(2) = a(2)2 + b(2) + 1 = 7 → 4a + 2b + 1 = 7. Diperoleh persamaan 4a + 2b = 6 ... (2)c. Dengan mensubstitusi a = 2 – b ke persamaan (2) , diperoleh b = 1d. Dari hasil c diperoleh a = 1e. Sehingga fungsi kuadrat yang memenuhi adalah f(x) = ax2 + bx + c = x2 + x + 1Ayo Kita SimpulkanJika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c melalui titik koordinat (p, q) diperoleh hubungan q = p2a + pb + c.2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-yPerhatikan gambar di samping. Misalkan terdapat suatu grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0). Fungsi kuadrat tersebut juga memotong sumbu-y di (0, –4).Apakah kamu sudah bisa menentukan fungsi kuadratnya? Bagaimana caranya? 321–1–112345x–2–2–3–4yMATEMATIKA201Perhatikan langkah-langkah berikut.a. Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b. Karena memotong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0), dapat dituliskan f(x) = ax2 + bx + c = a(x − 1)(x − 4).c. Karena memotong sumbu-y di (0, –4), diperoleh f(0) = –4.f(0) = a(0 − 1)(0 − 4)–4 = 4a Diperoleh a = –1 dan fungsi kuadrat f(x) = –(x – 1)(x – 4)= –x2 + 5x – 4.Ayo Kita SimpulkanJika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu-x pada titik koordinat (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadif(x) = a(x – p)(x – q)Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu-y pada titik koordinat (0, r) maka diperolehf(0) = rDengan mensubstitusikan nilai x = 0 pada fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c diperoleh f(0) = cyang berakibat c = r atau f(x) = ax2 + bx + r.202Buku Guru Kelas IX SMP/MTs3. Jika diketahui titik potong sumbu-x dan titik puncakPerhatikan gambar di samping. Terdapat suatu fungsi1–1–1123x–2–3–2–3–4234y kuadrat yang memotong sumbu-x di (–1, 0). Titik puncak fungsi kuadrat tersebut berada di koordinat (1, –4). Apakah kamu sudah bisa menentukan fungsi kuadratnya dan bagaimana caranya? Perhatikan langkah-langkah berikut.a. Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax2 + bx + c.b. Berdasarkan grafik di samping diperoleh sumbu simetri x = 1. Berdasarkan sifat simetri, titik potong di sumbu-x yang lain adalah hasil pencerminan kooordinat (–1, 0) terhadap garis x = 1, yakni koordinat dengan x = 3c. Sehingga fungsi kuadratnya dapat dinyatakan denganf(x) = ax2 + bx + c = a(x + 1)(x − 3)d. Karena titik puncak berada di (1, –4) maka diperoleh f(1) = –4.f(1) = a(1 + 1)(1 – 3)–4 = a × (–4) diperoleh a = 1 dan fungsi kuadrat f(x) = (x + 1)(x – 3) = x2 – 2x – 3.Ayo Kita SimpulkanJika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c memiliki titik puncak pada titik koordinat (s, t) maka sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah garisx = sNext >