< PreviousMATEMATIKA223 Atau m = 23616 – 9 – 3 = –1528. Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan telepon genggam N (dalam juta orang) dapat dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x2 + 36,1x + 83,3, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber: Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States, Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya pelanggan mencapai nilai maksimum? Penyelesaian: Banyaknya pelanggan mencapai minimum pada saat tahun 36,11995199519952217,4bxa=−=−<× Maka pelanggan mencapai maksimum pada saat 2002 yaitu nilai maksimum dari rentang data.9. Jumlah dua bilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang maksimum, tentukan kedua bilangan tersebut. Penyelesaian: Misalkan dua bilangan tersebut adalah a, b maka a = 30 – b sehingga f(b) = a × b = (30 – b) × b = 30b – b2 Karena diminta nilai maksimum maka Sehingga didapatkan a = 30 – b =1510. Selisih dua bilangan adalah 10. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum, tentukan kedua bilangan tersebut. Penyelesaian: Misalkan dua bilangan tersebut adalah a, b dengan a > b maka a = 10 + b sehingga f(b) = a × b = (10 + b) × b = 10b + b2224Buku Guru Kelas IX SMP/MTs Karena diminta nilai minimum maka Sehingga didapatkan a = 10 – 5 = 5Menentukan Fungsi KuadratLatihan 2.41. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (–1, 1), (0, –4), dan (1, –5). Penyelesaian: f(x) = 2x2 – 3x – 4.2. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada titik koordinat (4, 0) dan (–3, 0) serta melalui titik koordinat (2, –10). Penyelesaian: f(x) = x2 –x – 12.3. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada koordinat (–2, 0) dan memiliki titik puncak pada koordinat (2, –16). Penyelesaian: f(x) = x2 – 4x – 12.4. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-y pada koordinat (0, 4), melalui titik koordinat (–1, –1) dan memiliki sumbu simetri x = 2. Penyelesaian: f(x) = -x2+ 4x + 4.5. Tantangan. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui (12, 0), (0, 3), dan (0, –2). Penyelesaian: Tidak ada fungsi kuadrat yang memenuhi, karena tidak mungkin fungsi kuadrat memotong sumbu-y dua kali.6. Untuk suatu bilangan bulat p, tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (p, 0) dan (–p, 0), dan (0, p). Penyelesaian: f(x) = –1px2 + p.MATEMATIKA2257. Tentukan semua titik potong grafik fungsi linear y = x – 1 dengan fungsi kuadrat y = x2 – 5x + 4. Penyelesaian: Titik potong = (1, 0) dan (5, 4)8. Tentukan semua titik potong grafik fungsi kuadrat y = x2 – 6x + 4 dengan fungsi kuadrat y = x2 – 8x. Penyelesaian: Titik potong = (–2, 20)9. Tantangan. Tentukan nilai a dan b agar grafik fungsi linear y = ax + b memotong grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + 2 tepat pada satu titik koordinat yakni (3, –1).(Kalau diperlukan dapat menggunakan grafik). Penyelesaian: Dari persamaan x2 – 4x + 2 = ax + b diperolehx2 – (4 + a)x + (2 – b) = 0 .....(1) Karena titik perpotongan hanya pada satu titik koordinat yakni (3, –1) maka fungsi kuadrat pada Persamaan (1) hanya mempunyai satu akar yakni x = 3, atau dapat dituliskan dengan x2 – (4 + a)x + (2 – b) = (x – 3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 Diperoleh 4 + a = 6 → a = 2 dan 2 – b = 9 → b = –7.10. Dari fungsi kuadrat y = 2x2 – 12x + 16 akan dibuat suatu segitiga. Titik-titik sudut segitiga tersebut merupakan titik potong sumbu-x dan titik puncak. Tentukan luas segitiga tersebut. Penyelesaian: Fungsi kuadrat 2x2 – 12x + 16 dapat diubah menjadi 2x2 – 12x + 16 = 2(x2 – 6x + 8) = 2(x – 2)(x – 4) Diperoleh titik potong sumbu-x pada titik koordinat (2, 0) dan (4, 0). Sumbu simetri adalah x = . Koordinat titik puncak adalah (3, f(3)) = (3, –2). 226Buku Guru Kelas IX SMP/MTs Perhatikan gambar di bawah.5yx4321–1–2–1123456–2 Luas segitiga adalah ½(2)(2) = 2 satuan luas.Aplikasi Fungsi KuadratLatihan 2.51. Suatu persegi panjang kelilingnya 60 cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar mempunyai luas maksimum. Penyelesaian: Keliling = 2(panjang + lebar) Maka 30 = p + l atau p = 30 – l Dengan demikian fungsi luasnya adalah L(l) = p × l = (30 – l) l = 30l – l2 Karena yang diinginkan luas maksimum maka l = –302(1)− = 15 Didapat p = 30 – l = 30 – 15 = 15MATEMATIKA2272. Sebuah segitiga siku-siku jumlah kedua sisi siku-sikunya adalah 50 cm. Tentukan ukuran segitiga siku-siku agar mempunyai luas maksimum. Penyelesaian: Tinggi dari segitiga dapat ditentukan dengan mengguanakan teorema pytagoras yaitu dimisalkan sisi yang ketiga adalah s sehingga tinggi segitiga adalah212.5004ts=− Jadi fungsi luas adalah ()2112.50024Lsss=− Misal t = s2 maka ()2112.50024Lttt=− Dengan demikian supaya L maksimum maka 212.5004tt− harus maksimum sehingga Dengan demikian 5.000st=±=±. Karena jarak bernilai positif maka s = 5.000t=±.3. Seorang siswa memotong selembar kain. Kain hasil potongannya berbentuk persegi panjang dengan keliling 80 cm. Apabila siswa tersebut berharap mendapatkan kain hasil potongan mempunyai luas maksimum, tentukan panjang dan lebar kain. Penyelesaian: Keliling = 2 (panjang + lebar) Maka 40 = p + l atau p = 40 – l Dengan demikian fungsi luasnya adalah L(l) = p × l = (40 – l)l = 40l – l2228Buku Guru Kelas IX SMP/MTs Karena yang diinginkan luas maksimum maka Didapat p = 40 – l = 40 – 20 = 204. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) sebagai fungsi waktu t (dalam detik) dirumuskan dengan h(t) = –4t2 + 40t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan. Penyelesaian: Waktu supaya tinggi maksimum adalah Maka tinggi maksimum adalah h(5) = –4(52) + 40(5) = –100 + 200 = 1005. Diketahui bahwa tinggi Jam Gadang yang ada di Sumatera adalah 26 meter. Tentukan pemecahan masalah berikut ini: (Petunjuk: Rumus fisika untuk benda yang dijatuhkan pada ketinggian tertentu adalah s = s0 − v0 t + 5 t2 dan untuk benda yang dilempar ke atas adalah h = h0 + v0 t − 5 t2 dengan s adalah jarak benda yang dijatuhkan terhadap posisi awal benda (meter), h adalah jarak benda yang dilempar terhadap posisi awal benda (meter), t adalah waktu (detik), s0 dan h0 adalah ketinggian awal, dan v0 adalah kecepatan awal benda (m/s))a. Pada suatu hari ada seseorang yang menjatuhkan apel dari atas gedung Jam Gadang. Jika diharapkan apel tiba di tanah pada 0,7 detik setelah pelemparan apel, tentukan kecepatan awal apel.Sumber: www.indonesia.travelMATEMATIKA229b. Pada suatu hari ada seseorang yang melempar apel ke atas. Jika orang tersebut menginginkan tinggi lemparannya tersebut tepat sama dengan tinggi gedung Jam Gadang. Tentukan kecepatan awal yang harus diberikan orang tersebut pada saat melempar apel. Penyelesaian:a. Gunakan persamaan s = s0 – v0t + 5t2 dengan subtitusi s0 = tinggi jam gadang = 26, s = 0 dan t = 0,7 sehingga didapat0 = 26 – v0 (0,7) + 5(0,49) Dengan demikian v0 = 2624507235507336429−==,,,,,b. Gunakan persamaan h = h0 + v0t – 5t2 dengan subtitusi h0 = 0, dengan demikian tinggi maksimum adalah Dan subtitusi ymaksimum = 26 maka didapatv0 = ±520 Karena kecepatan harus bernilai positif makav0 = 5206. Seorang pemain bola basket mempunyai tinggi 170 cm. Sedangkan tinggi keranjang adalah 3 meter. Pemain basket tersebut melempar bola basket sejauh 4 meter dari posisi tiang keranjang dan posisi awal bola berada tepat di atas kepala pemain. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan apakah bola tersebut masuk ke dalam keranjang?Sumber: http://www.wikihow.com230Buku Guru Kelas IX SMP/MTs Penyelesaian: Misalkan fungsi kuadraty = ax2 + bx + c Misalkan koordinat bola awal adalah (0, 1,70) yaitu 1,70 sebagai tinggi orangnya. Dengan demikian posisi dari keranjang adalah (4, 3). Dan koordinat dari titik optimum adalah (412, 212). Maka didapat persamaan c = 1,7 (1) –2ba = 412 atau b = –9a (2) –244baca− = 212atau b2 – 4ac = –10a (3) Subtitusi persamaan (1) dan (2) ke (3) didapat 81a2 – 6,8a = –10a Sehingga didapata = 0 atau a = Karena berbentuk parabola maka a ≠ 0 sehingga a = dan b = 3290 dengan demikian y = –32810x2+ 3290 x + 1,7. Kemudian lihat bahwa y(4) = –32810(16) – 3290(4) + 1,7 ≠ 3 maka lemparan tersebut tidak akan masuk kedalam keranjang.7. Seorang tukang bangunan mendapat pesanan membuat air mancur yang diletakkan di pusat kolam kecil yang berbentuk lingkaran. Pemesan menginginkan luas kolamnya adalah 10 m2. Jika tinggi maksimum dari air mancur adalah 2 meter dan air mancurnya harus jatuh tepat ditepian kolam maka tentukan persamaan kuadrat dari air mancur.Sumber: Dokumen KemdikbudMATEMATIKA231 Penyelesaian: Luas kolam adalah 10 maka r = 10π Misalkan fungsi kuadraty = ax2 + bx + c Misalkan koordinat tengah kolam adalah (0, 0) dan koordinat dari titik optimum adalah 10,2,222rπ=. Maka didapat persamaan c = 0 (1) –1022baπ= atau b = –10π a (2) –244baca− = 2 atau b2 – 4ac = –8a (3) Subtitusi persamaan (1) dan (2) ke (3) didapat 10πa2 = –8a Sehingga didapata = 0 atau a = Karena berbentuk parabola maka a ≠ 0 sehingga a = dan b = 6410π dengan demikian y = x2 + 6410πx.8. Seorang atlet lompat jauh sedang mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan pada saat di balok tumpuan kecepatannya kira-kira 2,5 m/s kemudian pada saat itu juga dia melompat dengan sudut 30°. Tentukan jarak atlet tersebut dengan balok tumpuan ketika dia sampai di tanah. (Petunjuk: Rumus fisika untuk jarak Sumber: elgisha.wordpress.com232Buku Guru Kelas IX SMP/MTsvertikal (tinggi) yang bergantung terhadap waktu dengan sudut awal 30o adalah h = 12v0 t − 5t2 dan jarak horisontal yang bergantung pada waktu adalah s = 132v0 t dengan t adalah waktu (detik), h adalah tinggi lompatan pada saat t (m), s adalah jarak horisontal pada saat t (m) dan v0 adalah kecepatan awal).1 mBak PasirLintasan lariBalok Tumpuan Penyelesaian: Pada saat orang tersebut di tanah maka12v0t – 5t2 = 0 Dengan demikian t = 0 atau t = 0,25 Dengan demikian atlit tersebut sampai di tanah pada saat t = 0,25. Sehinggas = 132(2,5)0,25 = 0,31253 ≈ 0,54139. Seorang atlet lompat tinggi sedang mengadakan latihan. Pada saat latihan dia mengambil awalan lari dengan kecepatan tertentu dan dia melompat dengan sudut mendekati 900 pada saat jaraknya sangat dekat sekali dengan tiang lompat. Satu detik setelah dia melompat, tubuhnya mencapai tanah. Tentukan kecepatan lari sesaat sebelum dia melompat supaya lompatannya bisa melewati tinggi mistar lompat yaitu 2 meter! (Petunjuk: Rumus fisika untuk tinggi yang bergantung terhadap waktu dengan sudut awal lompatan mendekati 900 adalah h = 12v0 t − 5t2 dengan t adalah waktu (detik), h adalah tinggi lompatan pada saat t (m) dan v0 adalah kecepatan awal).Sumber: Dokumen KemdikbudNext >