< PreviousMATEMATIKA233 Penyelesaian: Karena tinggi mistar lompat adalah 2 meter, maka tinggi maksimum adalah hmax > 2 sehingga2014220v> Atau bisa dituliskanv02 > 160 Dengan demikian kecepatan awalnya adalahv0 > 160Fungsi KuadratUji Kompetensi 21. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1. Penyelesaian: (2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2 = 2 × 5 + 2 = 12 (2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1 = 4(–1) + 2(5) + 1 = 7. Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah x2 – 12x + 7 = 0.2. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya m + n dan m.n. Penyelesasaian: Akar-akar dari persamaan kuadrat baru adalah m + n = = 2 dan m × n = 12. Jadi persamaan kuadrat baru yang terbentuk adalah ()122xx−− = 0 atau 25102xx−+=.3. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, tentukan nilai q! Penyelesasaian: x12 + x22 = 4 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1 x2 = 4 ⇔ = 4 ⇔ 214qq−+= 4 ⇔ q2 – 4q + 4 = 16 ⇔ q2 – 4q – 12 = 0 ⇔ (q + 2)(q – 6) = 0 ⇔ q = –2 atau q = 6.234Buku Guru Kelas IX SMP/MTs4. Persamaan (1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar. Berapa m? Penyelesaian: D = 0 ⇔ (8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0 ⇔ 64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0 ⇔ 16 + 16m + 4m2 = 0 ⇔ m2 + 4m + 4 = 0 ⇔ (m + 2)2 = 8 ⇔ m = –2 ± 8.5. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, tentukan nilai c. Penyelesaian: D = 121 ⇔ (–9)2 – 4(2)(c) = 121 ⇔ 81 – 8c = 121 ⇔ 8c = –40 ⇔ c = –5.6. Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. Jika hasil kali dua bilangan itu 35, tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud. Penyelesaian: Misal dua bilangan cacah tersebut adalah a dan b. Dengan demikian a + b = 12 ⇔ a = 12 – b dan ab = 35. Didapat (12 – b)b = 35 ⇔ 12b – b2 – 35 = 0 ⇔ b2 – 12b + 35 = 0 ⇔ (b – 7)(b – 5) = 0 ⇔ b = 7 atau b = 5. Untuk b = 7 diperoleh a = 12 – 7 = 5. Untuk b = 5 diperoleh a = 12 – 5 = 7.7. Persamaan kuadrat x2 −2x + 7 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 − 2 dan x2 – 2 adalah .... Penyelesaian: (x1 – 2) + (x2 – 2) = x1 + x2 – 4 = 2 – 4 = –2. (x1 – 2) + (x2 – 2) = x1x2 – 2(x1 + x2) + 4 = 7 – 2(2) + 4 = 7 Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah x2 + 2x + 7 = 0.8. Akar-akar persamaan 2x2 − 6x + 2m − 1 = 0 adalah α dan β . Jika α = 2β, maka nilai m adalah .... Penyelesaian: α + β = 3 ⇔ 2β + β = 3 ⇔ β = 1 dan α = 2. Didapatkan αβ = 212m− ⇔ 2 = 212m− ⇔ 2m – 1 = 4 ⇔ 2m = 5 ⇔ m = 52.9. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah .... Penyelesaian: (2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2 = 2(5) + 2 = 12. (2p + 1)(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1 = 4(–1) + 2(5) + 1 = 7 Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah x2 – 12x+ 7 = 0.MATEMATIKA23510. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0, tentukan nilai a. Penyelesaian: αβ = 2 ⇔ 12 α2 = 2 ⇔ α2 = 4 ⇔ α = 2 dan β = 1. Didapatkan α + β = a – 1 ⇔ 3 = a – 1 ⇔ a = 4.11. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. a. f(x) = x2 + x + 3 b. f(x) = x2 – 6x + 8 c. f(x) = 2x2 + 3x + 212. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-x pada koordinat (–2, 0) dan (5, 0) serta memotong sumbu-y pada titik koordinat (0, –20). Penyelesaian: f(x) = 2x2 – 6x – 2013. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak pada titik koordinat (1, 5) serta melalui titik koordinat (0, 7). Penyelesaian: f(x) = 2x2– 4x + 714. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, 5), (1, 6) dan (–1, 12). Penyelesaian: f(x) = 4x2 – 3x + 515. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, –2) serta memiliki sumbu simetri x = –½ Penyelesaian: f(x) = 13x2 + 13x – 216. Analisis kesalahan. Lily menentukan fungsi kuadrat yang memiliki akar x = 3 dan x = –2 serta grafiknya melalui titik koordinat (0, 12). Fungsi kuadrat yang diperoleh adalah y = –2x2 – 2x + 12. Tentukan kesalahan yang dilakukan oleh Lily. Penyelesaian: Lily melakukan kesalahan menyatakan fungsi kuadrat menjadi y = –2(x + 3)(x – 2)236Buku Guru Kelas IX SMP/MTs yang benar adalah y = –2(x– 3)(x + 2)17. Tantangan. Tentukan banyaknya fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c yang memiliki dua akar berbeda dengan 1 ≤ a, b, c ≤ 6. Penyelesaian: Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c memotong sumbu-x pada dua titik koordinat berbeda jikab2 – 4ac ≥ 0 • Untuk b = 1, diperoleh 1 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ ¼ Tidak ada nilai a dan c yang memenuhi. • Untuk b = 2, diperoleh 4 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ 1 Pasangan (a, c) yang memenuhi adalah (1, 1). Terdapat 1 pasangan. • Untuk b = 3, diperoleh 9 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ 94 Pasangan (a, c) yang memenuhi adalah (1, 1), (1, 2), (2, 1). Terdapat 3 pasangan. • Untuk b = 4, diperoleh 16 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ 4 Pasangan (a, c) yang memenuhi adalah (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1). Terdapat 7 pasangan. • Untuk b = 5, diperoleh 25 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ 254 Pasangan (a, c) yang memenuhi adalah (1, 1), (1, 2), (1 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1). Terdapat 14 pasangan.MATEMATIKA237 • Untuk b = 6, diperoleh 36 – 4ac ≥ 0 → ac ≤ 9 Pasangan (a, c) yang memenuhi adalah (1, 1), (1, 2), (1 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1). Terdapat 17 pasangan. Banyaknya fungsi kuadrat yang memenuhi adalah 1 + 3 + 7 + 14 + 17 = 42.18. Tentukan titik potong grafik fungsi linear y = 2x + 5 dengan grafik fungsi kuadrat y = 2x2 – 4x + 9. Penyelesaian: Titik potong = (1, 7) dan (2, 9)19. Tentukan titik potong grafik fungsi kuadrat y = 2x2 + 4x + 1 dengan grafik fungsi kuadrat y = x2+ 9x + 7 Penyelesaian: Titik potong = (–1, –1) dan (6, 97)20. Tantangan.Apakah mungkin garis horisontal memotong grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c tepat pada satu titik koordinat? Penyelesaian: Garis horisontal dapat memotong grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c tepat pada satu titik koordinat yaitu titik puncak fungsi kuadrat tersebut.21. Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi di bawah ini a. y = 3x2 – 7x b. y = 8x2 – 16x + 2 c. y = 6x2 + 20x + 18 Penyelesaian: a. Sumbu simetrinya adalah x = b. Sumbu simetrinya adalah x = ym = y(1)= 8 – 16 + 2 = –6238Buku Guru Kelas IX SMP/MTs c. Sumbu simetrinya adalah x = 22. Sketsalah grafik fungsi berikut ini. a. y = 6x2 + 5x + 7 b. y = 7x2 – 3x + 223. Diketahui suatu barisan 3, 11, 26,…. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c. Tentukan barisan ke 100. Penyelesaian: Bentuk suatu persamaan dari barisan di atas yaitu Ui = ai2 + bi + c didapat persamaana + b + c = 34a + 2a + c = 119a + 3b + c = 26 Sehigga didapat Ui = 312i2 – 212i + 2 dengan demikian suku ke-100 adalah U100 = 34.75224. Diketahui suatu barisan barisan 5, 19, 29,…. Suku ke-n dari barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus Un = an2 + bn + c. Tentukan nilai maksimum dari barisan tersebut. Penyelesaian: Bentuk suatu persamaan dari barisan di atas yaitu Ui = ai2 + bi + c didapat persamaana + b + c = 54a + 2a + c = 199a + 3b + c = 29MATEMATIKA239 Sehigga didapat Ui = –2i2 + 20i – 13 dengan demikian nilai maksimumnya adalah 25. Jika fungsi y = ax2 + 3x + 5a mempunyai nilai maksimum 0, maka tentukan a. Penyelesaian:0 = –()()234(5)4()aaa− Maka0 = 9 – 20a2 Didapata = ±92026. Seorang sopir mengemudikan mobilnya dengan kecepatan konstan 20 m/s. Tiba-tiba dia melihat orang yang sedang berdiri di tengah jalan yang berjarak 15 m di depan mobilnya. Sopir tersebut mengerem mobilnya dengan perlambatan 5 m/s2. Apakah mobil tersebut menabrak orang di depannya itu? (Petunjuk: rumus fisika untuk kasus ini adalah s = v0 t – 12at2 dengan t menyatakan waktu (detik) mulai dari pengereman, s jarak tempuh pada saat t, v0 menyatakan kecepatan mobil dan a menyatakan perlambata mobil) Penyelesaian: Persamaan jaraknya didapats = 20t – 52t2 Mobil tersebut berhenti pada saat jarak maksimum. Sehingga mobil berhenti pada saat jaraknya adalah Jadi, mobil menabrak orang di depannya.Sumber: Dokumen Kemdikbud240Buku Guru Kelas IX SMP/MTs27. Air Terjun Madakaripura terletak di Kecamatan Lumbang, Probolinggo merupakan salah satu air terjun di kawasan Taman Nasional Bromo Tengger Semeru. Tinggi dari air terjun ini adalah 200 m. Pada suatu hari ada seseorang yang melepas ikan tepat dari atas air terjun. Tentukan berapa waktu yang diperlukan ikan tersebut untuk mencapai dasar air terjun? Jika persamaan jarak tempuh dari ikan tersebut adalah y = y0 − 24t2 dengan y jarak tempuh, y0 adalah tinggi air terjun dan t waktu tempuh. Penyelesaian: Maka waktu tempuhnya adalah0 = 200 – 24t2 Sehinggat = ±20024 detik Karena waktunya bernilai tak negatif makat = 20024 detik28. Sebuah roket mempunyai dua bahan bakar yaitu salah satunya berada pada pada bagian ekor. Pada ketinggian tertentu bahan bakar ini akan dibuang untuk mengurangi bobot. Roket mempunyai rumusan suatu persamaan y = 300t – 5t2 dengan t adalah waktu (detik) dan y menyatakan tinggi roket. Jika ekor roket dibuang pada saat mencapai tinggi maksimum, berapa tinggi roket pada saat membuang bahan bakarnya? Penyelesaian: Tinggi roket pada saat membuang bahan bakar adalahSumber: Dokumen KemdikbudSumber: http://idkf.bogor.netMATEMATIKA24129. Sumber: Dokumen KemdikbudSeorang atlet tolak peluru mempunyai tinggi 160 cm. Atlet ini melempar peluru tepat di atas kepalanya. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan jarak yang dicapai peluru tersebut! Penyelesaian: Misalkan fungsi kuadraty = ax2 + bx + c Misalkan koordinat bola peluru adalah (0,1, 60) yaitu 1,60 sebagai tinggi orangnya. Dan koordinat dari titik optimum adalah (412, 212). Maka didapata persamaanc = 1,6…….(1)–2ba = 412 atau b = –9a …….(2)–244baca− = 212 atau b2 – 4ac = –10a …….(3) Subtitusi persamaan (1) dan (2) ke (3) didapat 81a2 – 6,4a = –10a Sehingga didapata = 0 atau a = Karena berbentuk parabola maka a ≠ 0 sehingga a = dan b = 3690 dengan demikian y = –32810x2 + 3690x + 1,6. Ketika bola peluru mencapai tanah maka y haruslah bernilai nol sehingga untuk menentukan jarak lempar harus diselesaikan persamaan–32810x2 + 3690x + 1,6 = 0 Didapatkanx = –3 atau x = 12 Karena x menyatakan jarak maka jarak lemparannya adalah 12 meter.242Buku Guru Kelas IX SMP/MTs30. Sumber: http://cdn.ad4msan.comBalon udara jatuh dari ketinggian 32 kaki. Diberikan fungsi h = –32 t2 + 32 dengan h adalah tinggi balon setelah t detik. Kapan balon ini mencapai tanah? Penyelesaian: Balon udara mencapai tanah pada saat h = 0 sehingga–32t2 + 32 = 0 ataut = ± 1 karena waktu bernilai tak negatif makat = 1.Fungsi KuadratRemedial1. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak pada titik koordinat (1, 2) serta melalui titik koordinat (0, 9). Penyelesaian: f(x) = 7x2 – 14x + 92. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, 6), (1, 7) dan (–1, 13). Penyelesaian: f(x) = 4x2 – 3x + 63. Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik koordinat (0, 2) dan (2, 4) serta memiliki sumbu simetri x = –12 Penyelesaian: f(x) = 13x2 + 13x + 24. Jika fungsi y = ax2 + 3x + 5a mempunyai nilai maksimum 4, maka tentukan a. Penyelesaian:Next >